Analyse de l'exercice : Saponification et Modélisation Mathématique

Cet exercice du Bac STL PCM (Physique-Chimie et Mathématiques) 2022, session Nouvelle-Calédonie, est un classique de l'interdisciplinarité. Il lie étroitement les outils mathématiques de l'analyse à la cinétique chimique de la réaction de saponification de l'éthanoate d'éthyle. L'enjeu ici est de comprendre comment une loi de vitesse de premier ordre se traduit par une équation différentielle linéaire.

1. Maîtrise de l'équation différentielle $y' = ay$

La première partie demande de vérifier une solution de l'équation différentielle $(E) : y' = -k_1y$. C'est une compétence fondamentale en terminale STI2D et STL. La fonction proposée est de la forme $f(t) = Ce^{at}$.

• Dérivation : En dérivant $C(t) = C_0 e^{-k_1 t}$, on obtient $C'(t) = -k_1 \times C_0 e^{-k_1 t} = -k_1 C(t)$, ce qui valide l'égalité structurelle de l'équation différentielle.
• Condition initiale : L'élève doit montrer que $C(0) = C_0$. En remplaçant $t$ par 0, on utilise la propriété $e^0 = 1$.

Cette rigueur mathématique est essentielle pour valider le modèle physique utilisé en laboratoire.

2. Le concept de temps de demi-réaction ($t_{1/2}$)

La seconde question aborde la notion de temps de demi-réaction, définie par l'instant où la concentration initiale est divisée par deux : $C(t_{1/2}) = \frac{C_0}{2}$. La résolution passe par l'utilisation de la fonction logarithme népérien (ln), réciproque de l'exponentielle :

• Équation : $C_0 e^{-k_1 t_{1/2}} = \frac{C_0}{2}$
• Simplification : $e^{-k_1 t_{1/2}} = \frac{1}{2}$
• Passage au ln : $-k_1 t_{1/2} = \ln(\frac{1}{2}) = -\ln(2)$
• Résultat : $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k_1}$

Avec $k_1 = 0,017 \text{ s}^{-1}$, on trouve $t_{1/2} \approx 41$ secondes. Ce résultat signifie qu'au bout de 41 secondes, la moitié des ions hydroxyde ont été consommés par la réaction de saponification.

Compétences techniques requises

Pour réussir cet exercice, les élèves doivent mobiliser les capacités suivantes : dériver une fonction composée avec l'exponentielle, résoudre une équation avec un logarithme, et interpréter physiquement une constante de vitesse. Ce type d'exercice est hautement probable car il évalue à la fois la technique de calcul et la compréhension du phénomène physique.