Analyse de l'Exercice 1 : Probabilités et Santé Animale

Cet exercice du Baccalauréat 2022, issu du Sujet 2 de Métropole, propose une application classique des probabilités dans un contexte médical et vétérinaire. Il s'articule autour du dépistage d'une maladie (l'ehrlichiose) chez les coyotes, permettant de mobiliser deux thèmes majeurs du programme de spécialité mathématiques : les probabilités conditionnelles et la loi binomiale.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser les savoir-faire suivants :

• Modélisation par un arbre pondéré : Savoir traduire les données de l'énoncé (taux de prévalence, sensibilité et spécificité du test) en probabilités sur un arbre.
• Utilisation de la formule des probabilités totales : Être capable de calculer la probabilité d'un événement qui dépend de plusieurs chemins de l'arbre.
• Calcul de probabilités conditionnelles inverses : Savoir inverser le conditionnement (calculer la probabilité d'être malade sachant que le test est positif) en utilisant la définition $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
• Reconnaissance de la loi binomiale : Identifier un schéma de Bernoulli (répétition d'épreuves identiques et indépendantes) et justifier les paramètres $n$ et $p$.
• Calculs sur la loi binomiale : Déterminer la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès ou au moins $k$ succès.
• Résolution d'inéquation avec logarithme : Trouver la taille d'un échantillon nécessaire pour atteindre un seuil de probabilité donné (passage par l'événement contraire).

Partie A : Probabilités conditionnelles et valeurs prédictives

La première partie se concentre sur l'analyse d'un test de dépistage. L'élève est invité à construire un arbre pondéré représentant l'état de santé du coyote (Malade ou non) et le résultat du test (Positif ou non). Une difficulté classique réside dans le calcul des valeurs prédictives. Contrairement aux données de l'énoncé qui donnent la probabilité du résultat du test sachant l'état de santé, on demande ici de calculer la probabilité de l'état de santé sachant le résultat du test. Une interprétation critique des résultats est demandée pour comparer la fiabilité du test selon qu'il est positif ou négatif.

Partie B : Échantillonnage et Loi Binomiale

La seconde partie élargit le problème à un échantillon de plusieurs coyotes. L'énoncé précise que le choix est assimilé à un tirage avec remise, ce qui valide l'hypothèse d'indépendance nécessaire à l'application de la loi binomiale. Les questions portent sur :

• La justification de la loi suivie par la variable aléatoire comptant les tests positifs.
• Le calcul de probabilités cumulées (probabilité qu'au moins un certain nombre de coyotes soient positifs).
• La détermination d'un seuil $n$ (nombre de coyotes à capturer) pour garantir une probabilité minimale d'obtenir au moins un test positif. Cette dernière question nécessite souvent de passer par l'événement contraire (aucun test positif) et de résoudre une inéquation de la forme $1 - (1-p)^n > 0,99$.

Cet exercice constitue un excellent entraînement pour réviser les fondamentaux des probabilités discrètes avant l'épreuve du Bac.