Analyse Pédagogique : La modélisation thermique en STI2D

Cet exercice issu de l'épreuve de Physique-Chimie et Mathématiques (PCM) du baccalauréat STI2D 2023 en Polynésie est une étude de cas exemplaire sur la décroissance exponentielle. Il place l'élève dans une situation concrète d'ingénierie : la gestion de la sécurité thermique d'un appareil électroménager lors de sa phase de refroidissement après une pyrolyse.

Compétences techniques et mathématiques requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences du programme de Terminale STI2D sont mobilisées :

• Analyse graphique : Identifier une asymptote horizontale et en déduire une limite finie en l'infini.
• Comportement asymptotique : Comprendre que la limite de la fonction modélise la stabilisation du système vers une température d'équilibre (température ambiante).
• Algèbre et résolution d'équations : Isoler un terme exponentiel et utiliser la fonction réciproque, le logarithme népérien (ln), pour extraire la variable t située en exposant.
• Interprétation physique : Traduire un résultat mathématique en une durée concrète (minutes et secondes) pour répondre à une problématique de sécurité.

Décryptage de la résolution

La première partie demande une lecture graphique. On observe que la courbe de la fonction θ se stabilise vers la valeur 20. En mathématiques, cela signifie que la limite de θ(t) quand t tend vers +∞ est égale à 20. Physiquement, cela correspond à la température ambiante de la cuisine (20°C). C'est un point clé des exercices STI2D : le lien entre la valeur mathématique et la réalité physique.

La partie calculatoire est le cœur technique. Pour résoudre θ(t) = 280, l'élève doit transformer l'équation :
480e^(-t/95) + 20 = 280
480e^(-t/95) = 260
e^(-t/95) = 260/480 = 13/24
En appliquant le logarithme népérien, on obtient -t/95 = ln(13/24). La résolution finale donne t = -95 × ln(13/24), soit environ 58,2 minutes. Ce résultat permet de déterminer précisément le moment où la sécurité enfant du four pourra se déverrouiller.

Conseils de méthode

Lors de l'examen, il est crucial de bien différencier la 'valeur exacte' (demandée à la question 6) de la 'valeur approchée' souvent nécessaire pour répondre à une question de durée (question 7). Ne pas oublier les unités et toujours vérifier la cohérence du résultat sur le graphique fourni.