Analyse du Sujet Bac Asie 2022 (Sujet 1) - Exercice 4 : Étude de fonction logarithme

Cet exercice de mathématiques, extrait de l'épreuve du Baccalauréat 2022 pour la zone Asie (Sujet 1), est un classique de l'analyse fonctionnelle en classe de Terminale. Il mobilise des compétences transversales allant de la simple lecture graphique à l'étude approfondie de la convexité d'une fonction composée faisant intervenir le logarithme népérien.

Structuré en trois parties indépendantes, il permet d'évaluer la capacité des élèves à passer du registre graphique au registre algébrique, puis à mener une étude de variations rigoureuse avant de conclure par une analyse de la dérivée seconde.

Compétences et clés de réussite

1. Lecture graphique et lien avec la dérivée

La Partie A demande de maîtriser l'interprétation géométrique des nombres dérivés. La clé ici est de savoir lire les coordonnées d'un point sur la courbe pour obtenir $f(a)$ et de déterminer le coefficient directeur de la tangente pour obtenir $f'(a)$. Ces informations permettent ensuite de résoudre un système d'équations pour identifier les paramètres inconnus de la fonction.

2. Étude des variations et fonction logarithme

Dans la Partie B, l'exercice se concentre sur l'étude analytique. Les points essentiels à maîtriser sont :

• La parité : Savoir démontrer qu'une fonction est paire ($f(-x) = f(x)$) permet de réduire le domaine d'étude et d'interpréter la symétrie axiale de la courbe.
• Les limites et la dérivation : Il est crucial de connaître la dérivée de la fonction composée $\ln(u)$, soit $u'/u$. L'étude du signe de cette dérivée conduit au tableau de variations.
• Équations : La résolution d'équations du type $f(x) = k$ nécessite une bonne lecture du tableau de variations (pour le nombre de solutions) et une maîtrise des propriétés algébriques du logarithme pour la résolution exacte.

3. Convexité et point d'inflexion

La Partie C aborde la notion de convexité, souvent discriminante au Bac. Pour réussir cette partie, il faut être capable de :

• Calculer la dérivée seconde $f''(x)$ à partir de $f'(x)$ en utilisant la formule du quotient $(u/v)'$.
• Étudier le signe de $f''(x)$. Une fonction est convexe sur les intervalles où sa dérivée seconde est positive.
• Identifier les points d'inflexion, qui correspondent aux valeurs où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe.

Cet exercice constitue un excellent entraînement pour réviser l'ensemble du chapitre sur les fonctions logarithmes et la convexité en vue de l'examen final.