Analyse du Sujet de Bac STL - Métropole Septembre 2022

L'épreuve de mathématiques pour la filière Sciences et Technologies de Laboratoire (STL) se distingue par son approche appliquée. Le sujet de septembre 2022 pour la métropole ne fait pas exception, proposant un panel de questions de type QCM ou questions courtes permettant d'évaluer la maîtrise des outils mathématiques fondamentaux nécessaires aux sciences physiques et biologiques.

Structure de l'épreuve

Le candidat doit traiter 4 questions parmi les 6 proposées. Cette liberté de choix est cruciale : elle permet aux élèves de se focaliser sur leurs points forts, qu'il s'agisse de l'analyse de fonctions, de l'algèbre ou de la géométrie vectorielle.

Exercice : Analyse de fonctions (Questions 1, 2 et 3)

Le cœur de ce sujet repose sur l'étude de la fonction $f(x) = (-4x + 8)e^{-x}$. En STL, la fonction exponentielle est omniprésente. Elle modélise des phénomènes tels que la décroissance radioactive, la cinétique chimique de premier ordre ou encore la décharge d'un condensateur.

• Question 1 (Calcul d'image) : Il s'agit d'évaluer $f(0)$. En remplaçant $x$ par 0, on obtient $(0 + 8)e^{0} = 8$. Cette valeur initiale représente souvent, dans un contexte de laboratoire, la concentration initiale d'un réactif ou une température de départ.
• Question 2 (Limites) : L'étude de la limite en $+\infty$ fait appel aux croissances comparées. Puisque l'exponentielle l'emporte sur le polynôme, la limite est 0. Mathématiquement, cela signifie que le phénomène étudié tend vers une stabilisation ou une disparition totale à long terme.
• Question 3 (Dérivation) : La dérivation d'un produit $uv$ est une compétence clé. Ici, $f'(x) = -4e^{-x} - (-4x+8)e^{-x} = (4x - 12)e^{-x}$. Le signe de cette dérivée permet d'étudier les variations, essentiel pour déterminer le moment où une réaction chimique atteint son maximum ou son minimum.

Algèbre et Propriétés (Question 4)

La manipulation des puissances de $e$ est indispensable pour simplifier des expressions complexes rencontrées en biochimie. La question 4 teste les règles classiques : $e^a \times e^b = e^{a+b}$ et $(e^a)^n = e^{an}$. Ici, le résultat $e^3$ démontre une maîtrise de la syntaxe mathématique.

Trigonométrie et Signaux (Question 5)

La trigonométrie est le langage des ondes et des signaux périodiques. La question demande d'utiliser les relations de symétrie dans le cercle trigonométrique. En notant que $9\pi/5$ est proche de $2\pi$ (soit $- \pi/5$), l'élève doit identifier que $\cos(9\pi/5) = \cos(\pi/5)$. C'est un exercice de pure logique géométrique appliquée aux fonctions circulaires.

Géométrie Vectorielle (Question 6)

Le produit scalaire est utilisé en physique pour calculer le travail d'une force ou pour projeter des vecteurs de champ électrique. Avec des coordonnées, le calcul est direct : $x x' + y y'$. Pour $\vec{AB}(2, -1)$ et $\vec{AC}(3, 2)$, on trouve $2 \times 3 + (-1) \times 2 = 4$. Un produit scalaire positif indique que les deux vecteurs pointent globalement dans la même direction (angle aigu).

Conclusion et Conseils

Pour réussir cette épreuve, un élève de STL doit non seulement connaître ses formules de dérivation et ses limites, mais aussi comprendre le sens physique derrière les calculs. Nous conseillons de toujours vérifier la cohérence des résultats : une concentration ne peut pas être négative, et une exponentielle négative tend toujours vers zéro.