Analyse du Sujet de Mathématiques - Bac STL 2024 - Polynésie

Le sujet du Bac STL (Sciences et Technologies de Laboratory) de la session 2024 en Polynésie est une illustration parfaite de l'équilibre entre la rigueur mathématique et les applications techniques attendues dans les filières de laboratoire. En tant que professeur expert, j'analyse ici les compétences mobilisées, en mettant l'accent sur la fonction exponentielle, l'algorithmique et le calcul intégral.

Contexte de l'épreuve

Les épreuves de mathématiques pour la série STL ne sont pas de simples exercices de calcul. Elles visent à vérifier si l'étudiant est capable de modéliser des phénomènes physiques ou biologiques (comme la croissance bactérienne ou la décroissance radioactive) à travers des outils mathématiques robustes. Le sujet de 2024 ne déroge pas à la règle avec une approche pragmatique.

Analyse de l'Exercice : Étude de la fonction exponentielle

L'exercice repose sur la fonction f définie par f(x) = 5e^{2x+1}. Ce type de fonction est omniprésent en STL. En chimie, elle peut représenter une vitesse de réaction suivant la loi d'Arrhenius ; en biochimie, elle pourrait modéliser l'évolution d'une population cellulaire dans des conditions optimales.

1. Algorithmique et Python

La première question teste la compréhension des boucles for et de la génération de listes de valeurs. En laboratoire, l'automatisation via Python est devenue une compétence clé. Le programme correct (le programme a) montre comment itérer de 0 à 0.9 avec un pas de 0.1 (en utilisant k/10 avec range(10)). Cette compétence est essentielle pour traiter des séries de données expérimentales de manière itérative.

2. Résolution d'équations (Logarithmes)

Résoudre f(x) = 5 revient à isoler l'exponentielle : 5e^{2x+1} = 5, donc e^{2x+1} = 1. En appliquant le logarithme népérien (ln), on obtient 2x + 1 = 0, soit x = -0,5. Cette manipulation des fonctions réciproques est cruciale pour déterminer des temps de demi-vie ou des points d'équivalence en dosage.

3. Signe et Variations

L'affirmation sur l'image des réels négatifs demande d'exploiter la croissance de la fonction exponentielle. Puisque la base est positive et l'exposant croissant, la fonction est strictement croissante. Pour x ≤ 0, f(x) ≤ f(0). Or f(0) = 5e^1 ≈ 13,59. L'affirmation proposée est donc fausse. Cette capacité à borner une fonction permet aux techniciens de laboratoire d'anticiper des dépassements de seuils de sécurité ou de saturation d'instruments.

4. Primitives et Intégration

La recherche de la primitive de e^{ax+b} est un classique du programme de STL. La fonction F(x) = (5/2)e^{2x+1} est la primitive directe. Le calcul de l'intégrale entre 0 et 1 permet de mesurer une aire sous la courbe, ce qui, en physique-chimie, correspond souvent à une quantité totale (charge électrique cumulée, masse totale produite par une réaction, etc.).

Conclusion et Conseils

Pour réussir ce type de sujet, l'élève de STL doit maîtriser le passage du calcul algébrique à l'interprétation graphique. La rigueur dans l'écriture des logarithmes et la compréhension des boucles Python sont les deux piliers qui font la différence. Ne négligez jamais l'unité et la précision des valeurs approchées, car au laboratoire, la précision est reine.