Présentation du Sujet Bac STI2D 2025 - Métropole

La session 2025 du Bac STI2D en Métropole a proposé un sujet de mathématiques équilibré, ciblant les compétences fondamentales de l'ingénierie et des sciences technologiques. Ce sujet se concentre sur quatre piliers majeurs du programme : la géométrie du plan complexe, la modélisation par équations différentielles, l'étude des fonctions exponentielles et les manipulations algébriques des logarithmes. Pour un élève de STI2D, ces thématiques ne sont pas seulement théoriques ; elles constituent le socle de la physique appliquée, notamment en électronique et en thermique.

Exercice 1 : Nombres Complexes et Géométrie

Le premier exercice porte sur l'affixe d'un point dans le plan complexe. La lecture graphique est une compétence clé. Le point M est situé sur un cercle de rayon 5, ce qui définit son module. L'angle formé avec l'axe des réels est de -45 degrés, soit -π/4 radians.
En STI2D, cette compétence est directement liée à la représentation des signaux alternatifs (diagrammes de Fresnel). L'écriture exponentielle 5e^(-iπ/4) permet de déduire rapidement les composantes réelle et imaginaire pour des calculs d'impédance par exemple. La réponse exacte est la C.

Exercice 2 : Équations Différentielles du Premier Ordre

L'équation proposée est de la forme y' = ay + b, soit y' = 2y - 0,5.

• Question 1 : Les solutions générales sont de la forme f(x) = C * e^(ax) - b/a. Ici, f(x) = C * e^(2x) + 0,25.
• Question 2 : La condition porte sur le nombre dérivé f'(0) = -3. En utilisant f'(x) = 2C * e^(2x), on obtient 2C = -3, d'où C = -1,5.

Ce type d'équation est omniprésent en ingénierie pour modéliser la charge d'un condensateur ou la montée en température d'un système thermodynamique. La maîtrise de la constante C via une condition initiale est un automatisme à acquérir absolument.

Exercice 3 : Résolution d'Équations Exponentielles

La fonction f(x) = e^(-0,016x) - 2 correspond souvent à des modèles de décroissance radioactive ou d'amortissement.
Pour résoudre f(x) = 0, on passe par la forme e^(-0,016x) = 2. En appliquant le logarithme népérien, on obtient -0,016x = ln(2), soit x = -ln(2) / 0,016.
La valeur exacte est donc x = -62,5 * ln(2). La valeur approchée à 10^-2 est environ -43,32. Ce calcul demande une bonne manipulation de la calculatrice et la compréhension de la bijectivité de la fonction exponentielle.

Exercice 4 : Propriétés des Logarithmes

Cet exercice est un pur test d'agilité algébrique. Il utilise les propriétés fondamentales :

• ln(a/b) = ln(a) - ln(b)
• ln(x^n) = n * ln(x)

En décomposant chaque terme : ln(x^4/9) = 4ln(x) - ln(9). ln(9/x) = ln(9) - ln(x). En sommant : (4ln(x) - ln(9)) - 3ln(x) + (ln(9) - ln(x)) = 0. Le résultat est nul pour tout x > 0. Ce type de simplification est essentiel lors de la réduction de formules de gain en décibels dans le domaine de l'acoustique ou des télécommunications.

Conclusion et Conseils de Révision

Le sujet Métropole 2025 souligne l'importance des automatismes. Un élève de STI2D doit être capable de passer d'une forme algébrique à une forme exponentielle sans hésitation. Pour réussir, concentrez-vous sur la mise en relation des mathématiques avec les sciences physiques. Entraînez-vous à justifier chaque étape, car en STI2D, la rigueur du raisonnement est tout aussi importante que le résultat final. Ce sujet est une excellente base pour réviser les fondamentaux avant les épreuves de spécialité.