Analyse du Sujet de Mathématiques - Bac STI2D - Polynésie 2022

Le sujet de mathématiques de la session 2022 en Polynésie pour la filière STI2D est un excellent exemple de l'application des mathématiques aux sciences de l'ingénieur. Ce sujet, structuré autour de six questions indépendantes, balaie une large partie du programme : des équations différentielles aux nombres complexes, en passant par l'étude de fonctions logarithmiques et exponentielles.

Exercice 1 - Question 1 : Modélisation Thermique et Équations Différentielles

La première question plonge l'élève dans un contexte industriel : l'injection plastique. Le problème porte sur le refroidissement d'un bouchon, modélisé par l'équation différentielle de premier ordre y' = -0,1y + 7. C'est une application directe de la loi de Newton sur le refroidissement. L'élève doit démontrer qu'une fonction donnée est solution. La difficulté réside dans la précision du calcul de la dérivée de l'exponentielle et la vérification de la condition initiale (t=0). Ce type d'exercice est fondamental pour les futurs étudiants en BTS ou IUT, où les régimes transitoires sont omniprésents.

Exercice 1 - Question 2 : Maîtrise des Nombres Complexes

La question 2 aborde les nombres complexes sous l'angle de la forme exponentielle et de la puissance. Le passage de la forme algébrique -1 + i à la forme exponentielle nécessite le calcul du module (√2) et de l'argument (3π/4). La deuxième partie utilise la formule de Moivre ou les propriétés de l'exponentielle pour élever le complexe à la puissance 4. Un point d'attention particulier doit être porté à la partie imaginaire du résultat final. En STI2D, cette compétence est cruciale pour l'étude des circuits électriques en régime sinusoïdal (impédances).

Exercice 1 - Question 3 : Accumulation d'Énergie et Logarithmes

Ici, on s'intéresse à la charge d'une batterie de voiture électrique. La fonction E(t) = 18(1 - e^{-0,45t}) modélise cette charge. L'enjeu est de résoudre l'équation E(t) = 9 (la moitié de la charge maximale). Cela demande une manipulation rigoureuse des logarithmes népériens pour isoler t. Le piège classique est l'unité de temps : le résultat obtenu en heures doit être converti en minutes par un produit en croix simple mais souvent oublié sous le stress de l'examen.

Exercice 1 - Question 4 : Étude de Variation et Dérivation

Cette question porte sur l'analyse pure. On donne la dérivée f'(x) = (-3x+2)/x. L'étude du signe de cette dérivée sur ]0 ; +∞[ permet de déduire les variations de la fonction f. Le dénominateur étant positif, tout repose sur le signe du numérateur affine -3x+2. C'est un exercice de base qui évalue la compréhension du lien entre signe de la dérivée et sens de variation, une compétence socle pour tout bachelier scientifique.

Exercice 1 - Question 5 : Équations Logarithmiques Complexes

La question 5 est un QCM portant sur une équation logarithmique : 3 ln(x) - ln(x + 30) = 2 ln(5). Pour résoudre ceci, il faut appliquer les propriétés de linéarité : n ln(a) = ln(a^n) et ln(a) - ln(b) = ln(a/b). On aboutit à une équation du troisième degré simplifiée ou, plus simplement, on peut tester les solutions proposées par substitution. C'est une méthode efficace pour gagner du temps lors d'un QCM.

Exercice 1 - Question 6 : Limites et Cinématique de Nacelle

Enfin, la modélisation de la hauteur d'une nacelle élévatrice combine étude de fonction et interprétation physique. La limite en +∞ de h(t) = -15e^{-0,2t} + 18 est 18. Dans le contexte, cela représente la hauteur maximale que la nacelle peut atteindre (l'asymptote horizontale). La hauteur initiale (t=0) se calcule aisément. Cet exercice montre comment les mathématiques permettent de définir les limites de sécurité d'un équipement technique.

Conclusion et Conseils de Révisions

Ce sujet de Polynésie 2022 est très complet. Pour réussir, les élèves de STI2D doivent impérativement maîtriser les fonctions de base (exp et ln) et savoir faire le lien entre un modèle mathématique et une situation concrète (énergie, température, hauteur). N'oubliez pas que le choix des questions permet de valoriser vos points forts : ciblez les exercices où vous êtes le plus à l'aise techniquement.