Compétences et clés de réussite

Cet exercice 2 du sujet de Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2022 (Métropole, Sujet 2) est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) qui balaie deux thèmes fondamentaux du programme de Terminale : l'analyse fonctionnelle via la lecture graphique et l'étude théorique des suites numériques. Bien qu'aucune justification ne soit demandée sur la copie, la réussite de cet exercice exige une rigueur de raisonnement équivalente à celle d'un exercice rédigé.

Lecture graphique et analyse de la convexité

La première partie de l'exercice (Questions 1 à 3) repose sur l'interprétation de la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$. L'erreur classique à éviter est de confondre les variations de $f$ avec celles de $f'$. Pour réussir, l'élève doit maîtriser les liens logiques suivants :

• Signe de $f'(x)$ : Il permet de déduire les variations de la fonction primitive $f$. Il faut repérer la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses.
• Variations de $f'(x)$ : Elles informent sur la convexité de $f$. Si $f'$ est croissante, $f$ est convexe ; si $f'$ est décroissante, $f$ est concave.
• Extremum de $f'(x)$ : Un maximum ou un minimum local de la dérivée correspond souvent à un point d'inflexion pour la courbe de $f$ (là où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe).

Une lecture attentive des axes et des valeurs remarquables (tangentes horizontales de $f'$, intersections avec l'axe des abscisses) est indispensable pour éliminer les mauvaises réponses.

Comportement asymptotique des suites

La seconde partie (Questions 4 à 6) traite des suites numériques, en se focalisant sur des propriétés abstraites plutôt que sur des calculs explicites. Les compétences sollicitées incluent :

• Théorèmes de comparaison et d'encadrement : Savoir ce que l'on peut déduire (ou ne pas déduire) d'une inégalité du type $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$ lorsque l'on connaît les limites de $u_n$ et $w_n$. Attention aux conclusions hâtives sur la convergence si les limites encadrantes sont différentes.
• Théorème de convergence monotone : Utiliser des inégalités de récurrence ($u_n \leqslant u_{n+1}$) combinées à une majoration pour conclure à la convergence.
• Étude de variations par encadrement : Analyser des inégalités strictes impliquant $n$ (comme $n < u_n < n+1$) pour déterminer la monotonie d'une suite sans avoir son expression explicite.

Ce QCM teste la capacité de l'élève à mobiliser des contre-exemples mentaux et à appliquer strictement les définitions du cours pour valider une unique bonne réponse parmi les propositions.