Compétences et clés de réussite

Cet exercice 4 du sujet de Baccalauréat Métropole 2022 (Sujet 1) est un Questionnaire à Choix Multiple (QCM) qui balaie un large spectre du programme d'analyse. Pour réussir ce type d'épreuve, il est essentiel de maîtriser les automatismes de calcul et la lecture graphique, tout en connaissant parfaitement les propriétés des fonctions usuelles.

Limites et Asymptotes

La première question teste la capacité à déterminer le comportement asymptotique d'une fonction rationnelle. L'élève doit savoir identifier les termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur pour lever une forme indéterminée en l'infini, ou observer le comportement autour des valeurs interdites pour déduire l'équation d'une asymptote horizontale ou verticale.

Calcul de Primitives et Condition Initiale

Le calcul intégral est abordé via la recherche d'une primitive particulière. La clé de réussite réside ici dans la reconnaissance de la forme remarquable u'e^u. Une fois la forme générale des primitives trouvée, l'étudiant doit utiliser la condition initiale donnée (ici F(0) = 1) pour déterminer la constante d'intégration. C'est un exercice classique qui demande de la rigueur dans l'application des formules de dérivation inverse.

Convexité et Lecture Graphique

Une compétence majeure du programme est le lien entre la dérivée, la dérivée seconde et la convexité. Ici, on fournit la courbe de la dérivée f'. Il ne faut pas confondre les variations de f (liées au signe de f') et la convexité de f (liée aux variations de f'). Pour rappel, une fonction est convexe sur un intervalle si sa dérivée est croissante sur cet intervalle. L'analyse visuelle de la pente de la courbe de f' est donc nécessaire.

Lien Fonction/Primitive et Croissance Comparée

Le sujet interroge également sur le sens de variation des primitives. Il faut se souvenir du théorème fondamental : si F est une primitive de f, alors F' = f. Par conséquent, étudier les variations de F revient à étudier le signe de f. Si la fonction f est strictement positive (comme c'est souvent le cas avec des sommes d'exponentielles), ses primitives sont nécessairement strictement croissantes.

Concernant les limites faisant intervenir la fonction logarithme népérien et des polynômes, la maîtrise des théorèmes de croissance comparée est indispensable pour lever les indéterminations en l'infini.

Résolution d'Équations Exponentielles

Enfin, la résolution d'équations du type comportant des termes en e^(2x) et e^x requiert souvent une méthode algébrique spécifique : le changement de variable. En posant X = e^x, on se ramène à une équation du second degré classique. Il est crucial de vérifier ensuite si les solutions trouvées pour X sont compatibles avec la fonction exponentielle (c'est-à-dire strictement positives) pour revenir à la variable x.