Analyse globale de l'exercice QCM - Polynésie 2024 Sujet 2

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) issu du Sujet 2 de Polynésie 2024. Il aborde des thématiques variées du programme de Terminale Spécialité Mathématiques, permettant d'évaluer la polyvalence des candidats. Les cinq questions sont indépendantes et traitent d'analyse (équations différentielles, intégration) et de dénombrement. La particularité du QCM réside dans la nécessité d'obtenir le résultat exact rapidement, sans exigence de rédaction formelle, bien que le raisonnement au brouillon doive être rigoureux pour éviter les pièges classiques.

Compétences et clés de réussite

1. Maîtrise des équations différentielles linéaires

La première question teste la capacité à résoudre une équation différentielle du type y' = ay + b. Pour réussir, l'élève doit connaître par cœur la forme générale des solutions (fonction exponentielle associée à une constante) et savoir utiliser une condition initiale (ici f(0)=1) pour déterminer l'unique solution. La clé est de ne pas confondre les coefficients dans la formule du cours et de vérifier mentalement si la fonction trouvée satisfait l'équation de départ.

2. Interprétation géométrique et calcul d'intégrales

Les questions 2 et 3 portent sur le calcul intégral sous deux angles différents :

• Approche graphique : Savoir estimer une intégrale en l'interprétant comme l'aire sous la courbe. Ici, la compétence clé est le comptage des carreaux ou des unités d'aire pour encadrer la valeur de l'intégrale sans calcul algébrique complexe.
• Lien primitive-intégrale : La question 3 est subtile. Elle demande l'intégrale de la dérivée g'. L'élève astucieux utilisera le théorème fondamental de l'analyse : l'intégrale de la dérivée d'une fonction sur un intervalle est égale à la variation de la fonction aux bornes (g(b) - g(a)). Cela évite tout calcul de primitive fastidieux, car la fonction g est déjà donnée.

3. Dénombrement et coefficients binomiaux

Les deux dernières questions basculent vers la combinatoire. Les clés de réussite résident dans :

• Le choix du modèle : Identifier qu'il s'agit de constituer des groupes sans ordre et sans remise, ce qui renvoie immédiatement à l'utilisation des combinaisons (notation k parmi n).
• Le principe multiplicatif : Pour la dernière question, il faut savoir décomposer le problème en sous-groupes (choisir des élèves de SES ET des élèves d'autres spécialités). La compétence majeure est de comprendre que le "ET" logique se traduit par une multiplication des combinaisons, et non une addition.

En résumé, cet exercice 2 du sujet Polynésie 2 demande une bonne agilité mentale pour passer de l'analyse à la combinatoire, en mobilisant des propriétés fondamentales du cours plutôt que des calculs bruts.