Compétences et clés de réussite

Cet exercice 4 du sujet 2 du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2024 pour la zone Amérique du Nord est un classique de l'analyse fonctionnelle combinant l'étude de la fonction logarithme népérien, le calcul intégral et la géométrie analytique.

1. Maîtrise de la fonction logarithme et des primitives

La première partie de l'exercice repose sur la connaissance des propriétés algébriques et analytiques de la fonction $\ln(x)$. Pour réussir, le candidat doit :

• Savoir résoudre des équations simples impliquant des logarithmes pour déterminer les intersections avec les axes ($f(x)=0$).
• Vérifier qu'une fonction donnée est une primitive d'une autre. Ici, la méthode attendue n'est pas de calculer l'intégrale directement, mais de dériver la fonction $F(x)$ proposée (sous la forme d'un produit $u \times v$) pour montrer que l'on retombe bien sur $f(x)$.
• Appliquer le théorème fondamental de l'analyse pour calculer une aire sous la courbe. Il est crucial de savoir exprimer cette aire via l'intégrale définie $\int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a)$ et de simplifier l'expression en fonction des paramètres $a$ et $x_0$.

2. Analyse de la tangente et géométrie

La seconde partie demande de faire le lien entre l'analyse (dérivée) et la géométrie (tangente et coordonnées). Les points clés sont :

• Connaître parfaitement l'équation réduite de la tangente en un point d'abscisse $x_0$ : $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.
• Savoir interpréter graphiquement les points d'intersection. Le point $A$ est l'ordonnée à l'origine de la tangente (donc en $x=0$), tandis que le point $B$ est le projeté orthogonal sur l'axe des ordonnées (même ordonnée que le point de tangence $M$).
• Faire preuve de rigueur dans les manipulations algébriques pour calculer une distance. L'objectif final est de démontrer qu'une longueur est constante, ce qui implique que la variable $x_0$ doit s'éliminer lors des calculs de la distance $AB = |y_B - y_A|$.

Conseils méthodologiques

Dans ce type d'exercice paramétré (avec la constante $a$), il est essentiel de ne pas se laisser perturber par les lettres et de traiter $a$ comme un nombre fixe. Une attention particulière doit être portée à la rédaction, notamment en explicitant les étapes de dérivation et en justifiant le signe des expressions lors des calculs d'aire (l'aire est positive car la fonction est positive sur l'intervalle considéré).