Compétences et clés de réussite

Cet exercice 4 du Sujet 0 du Baccalauréat 2024 (Spécialité Mathématiques) se présente sous la forme d'un questionnaire à choix multiples (QCM). Il aborde de manière synthétique les notions fondamentales de la géométrie dans l'espace. Pour réussir ce type d'exercice, il est crucial de maîtriser le repérage dans l'espace et les opérations vectorielles.

1. Repérage et Coordonnées dans un Prisme

La première difficulté réside dans la lecture et la détermination des coordonnées des points dans un repère orthonormé défini par la géométrie du solide (ici un prisme droit à base trapézoïdale). Il faut être capable de :

• Identifier l'origine et les vecteurs de base.
• Traduire les relations vectorielles (comme celle définissant le milieu d'un segment ou la forme du trapèze) en coordonnées numériques pour les points clés (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J).

2. Vecteurs Normaux et Plans

L'une des questions demande d'identifier un vecteur normal à un plan donné. La méthode classique consiste à vérifier l'orthogonalité du vecteur candidat avec deux vecteurs non colinéaires du plan (par exemple via le produit scalaire). Une bonne maîtrise du calcul de produit scalaire dans un repère orthonormé est donc indispensable ($xx' + yy' + zz'$).

3. Droites, Parallélisme et Bases

L'exercice teste également la capacité à reconnaître des droites parallèles. Cela revient analytiquement à vérifier la colinéarité des vecteurs directeurs. De même, la notion de base de l'espace est abordée : il faut savoir que trois vecteurs forment une base s'ils ne sont pas coplanaires (c'est-à-dire linéairement indépendants). Le déterminant ou la résolution d'un système linéaire peut être un outil, mais l'observation géométrique est souvent plus rapide dans un QCM.

4. Décomposition Vectorielle et Orthogonalité

Une question porte sur la décomposition d'un vecteur en une somme de vecteurs deux à deux orthogonaux. Cela fait appel à la projection orthogonale et à la relation de Chasles, tout en vérifiant que les produits scalaires entre les vecteurs composant la somme sont nuls.

5. Calcul de Volume

Enfin, le calcul du volume du prisme droit nécessite de connaître la formule générale $V = \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}$. Ici, la base est un trapèze rectangle. L'élève doit donc calculer l'aire de ce trapèze (petite base, grande base, hauteur du trapèze) avant de multiplier par la hauteur du prisme. Une attention particulière doit être portée aux longueurs unitaires définies par le repère.