Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Mathématiques 2024 (Polynésie, Sujet 1) propose une étude classique mais structurée d'une suite définie par récurrence. Il est divisé en deux parties indépendantes qui permettent d'aborder le problème sous un angle numérique (conjectures) puis théorique (démonstrations). Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser l'interaction entre les fonctions et les suites.

1. Algorithmique et Conjectures (Partie A)

La première partie met l'accent sur la compétence numérique via le langage Python. Il est essentiel de comprendre la structure d'une boucle for pour calculer les termes successifs d'une suite récurrente. Les points clés incluent :

• Lecture de code : Identifier l'initialisation de la variable (correspondant à $u_0$) et l'instruction de mise à jour (correspondant à la relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$).
• Calcul manuel : Savoir exécuter l'algorithme "à la main" pour les premières itérations afin de vérifier la cohérence des résultats affichés par la machine.
• Émission de conjectures : Analyser une série de valeurs numériques pour formuler des hypothèses sur le sens de variation (croissant ou décroissant) et la convergence vers une valeur limite.

2. Étude de fonction et Récurrence (Partie B)

La seconde partie requiert une rigueur mathématique pour valider les conjectures émises précédemment. Les savoir-faire mobilisés sont centraux dans le programme de Terminale :

Étude de la fonction associée

L'exercice introduit une fonction homographique $f$. La première étape consiste à déterminer son sens de variation sur un intervalle donné. La maîtrise du calcul de la dérivée d'une fonction inverse ou d'un quotient est ici indispensable pour montrer que la fonction est croissante, une propriété qui sera cruciale pour la suite.

Raisonnement par récurrence

Le cœur de l'exercice repose sur une démonstration par récurrence pour encadrer la suite. Il s'agit de prouver une inégalité multiple (bornes et décroissance simultanées). La clé de la réussite réside dans l'étape d'hérédité : il faut utiliser la croissance de la fonction $f$ démontrée précédemment pour conserver l'ordre des inégalités lors du passage du rang $n$ au rang $n+1$.

Convergence et point fixe

Enfin, l'exercice amène à conclure sur la convergence de la suite en utilisant le théorème de convergence monotone (suite décroissante et minorée). La détermination de la valeur exacte de la limite nécessite la résolution de l'équation du point fixe $f(x) = x$, qui se ramène ici à une équation du second degré. Une analyse critique des solutions est nécessaire pour ne retenir que la limite pertinente selon l'intervalle d'étude.