Analyse de l'Exercice 2 : Géométrie dans l'espace (Bac Spé Maths 2024 - Métropole Sujet 2)

Cet exercice se présente sous la forme d'un questionnaire de type Vrai/Faux avec justification obligatoire. Il couvre l'ensemble des notions fondamentales de la géométrie dans l'espace au programme de la spécialité mathématiques. La structure de l'exercice permet d'évaluer la capacité du candidat à manipuler les coordonnées, les vecteurs et les équations paramétriques ou cartésiennes.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, il est essentiel de maîtriser plusieurs outils analytiques :

• Vérification d'un vecteur normal : Pour l'Affirmation 1, la compétence clé est l'utilisation du produit scalaire. Un vecteur est normal à un plan si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de ce plan (ici, les vecteurs formés par les points A, B et C). Il faut donc calculer les produits scalaires et vérifier s'ils sont nuls.
• Représentation paramétrique d'une droite : L'Affirmation 2 demande de vérifier une équation de droite passant par deux points A et B. Deux méthodes sont possibles : vérifier que le vecteur directeur de la représentation proposée est colinéaire au vecteur AB et qu'un des points appartient à la droite, ou construire soi-même la représentation pour la comparer.
• Équation cartésienne de plan : Pour l'Affirmation 3, il s'agit de manipuler la notion d'orthogonalité. Si un plan est orthogonal à une droite (AB), alors le vecteur AB est un vecteur normal au plan. L'étudiant doit savoir extraire le vecteur normal d'une équation cartésienne (les coefficients devant x, y, z) et vérifier la cohérence avec le vecteur AB, ainsi que l'appartenance du point C au plan.
• Position relative de deux droites : L'Affirmation 4 est classique. Elle requiert de déterminer si deux droites sont coplanaires (sécantes ou parallèles) ou non coplanaires. La méthode standard consiste à chercher une éventuelle intersection en résolvant un système d'équations paramétriques, ou à démontrer que leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires tout en prouvant l'absence de point commun.

En résumé, cet exercice demande de la rigueur dans les calculs de coordonnées et une bonne compréhension des liens entre vecteurs directeurs, vecteurs normaux et les différents types d'équations spatiales.