Présentation de l'exercice

L'exercice 3 du sujet 1 du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2024, session Polynésie, aborde un thème central du programme de Terminale : les probabilités. Divisé en deux parties, cet exercice propose d'abord une modélisation simple à l'aide d'une loi binomiale avant d'étudier un jeu plus complexe faisant intervenir des probabilités conditionnelles et une prise de décision stratégique. C'est un sujet classique qui permet de vérifier la maîtrise des outils probabilistes fondamentaux.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit mobiliser plusieurs savoir-faire essentiels :

• Identifier une loi binomiale : Savoir reconnaître une répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes pour déterminer les paramètres $n$ et $p$.
• Construire et utiliser un arbre pondéré : La représentation graphique est cruciale dans la partie B pour visualiser les différentes étapes du jeu (premier lancer, second lancer éventuel) et calculer correctement les probabilités des chemins.
• Maîtriser les probabilités conditionnelles : Comprendre la notation $P_A(B)$ et savoir l'utiliser tant pour compléter l'arbre que pour calculer des probabilités inverses (formule de Bayes implicite).
• Utiliser la formule des probabilités totales : Cette formule est indispensable pour calculer la probabilité globale de gagner (événement $G$) en sommant les probabilités des intersections issues de l'arbre.
• Résoudre une inéquation avec logarithmes : La dernière question demande de déterminer un nombre de répétitions nécessaires pour atteindre un seuil de probabilité, ce qui implique souvent l'utilisation du logarithme népérien ($ln$).

Analyse détaillée des parties

Dans la Partie A, l'élève est amené à travailler sur une situation standard : le lancer de trois pièces équilibrées. Il s'agit ici de définir la variable aléatoire $X$ comptant le nombre de succès (« Face »). La justification de la loi suivie par $X$, ainsi que le calcul de son espérance ou de ses probabilités ponctuelles $P(X=k)$, constituent une application directe du cours sur la loi binomiale. La rigueur dans la rédaction des hypothèses (indépendance, probabilité du succès) est ici primordiale.

La Partie B complexifie la situation en introduisant une règle de jeu conditionnelle : on ne relance que les pièces ayant donné « Pile ». Cette partie nécessite une lecture attentive de l'énoncé pour traduire les règles en probabilités. L'arbre pondéré devient l'outil central pour structurer le raisonnement. Le calcul de la probabilité de gagner $P(G)$ requiert de bien identifier toutes les branches menant au succès. Enfin, la question finale sur la répétition du jeu pour obtenir une probabilité de victoire supérieure à 0,95 fait appel à la notion d'événement contraire (« ne jamais gagner ») et à la résolution d'inéquations exponentielles, un classique des sujets de Bac.

En somme, cet exercice est un excellent entraînement pour consolider ses bases en modélisation probabiliste et en calculs sur les arbres.