Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Sujet 0 du Baccalauréat 2024 est un problème complet de probabilités qui balaie un large spectre du programme de Spécialité Mathématiques. Il est structuré en trois parties distinctes qui demandent de maîtriser la modélisation par variables aléatoires discrètes.

1. Probabilités conditionnelles et variables aléatoires

La première partie s'appuie sur la construction d'un arbre pondéré. La difficulté réside ici dans la dépendance entre les deux questions posées au candidat (la réussite à Q2 dépend de Q1). Les compétences clés incluent :

• L'utilisation de la formule des probabilités totales pour calculer des probabilités marginales.
• La définition de variables aléatoires associées aux points (X1, X2) et à la note totale (X).
• Le calcul de l'espérance et de la variance d'une somme. Un point crucial est de remarquer que la variance de la somme n'est pas la somme des variances ici, car les événements ne sont pas indépendants.

2. Loi Binomiale

La deuxième partie est une application directe de la loi binomiale. L'élève doit savoir :

• Justifier le modèle (répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes).
• Manipuler les coefficients binomiaux pour calculer une probabilité exacte $P(Y=k)$.
• Appliquer les formules de l'espérance ($n \times p$) et de la variance ($n \times p \times (1-p)$).

3. Somme de variables et échantillonnage

La dernière partie élargit le problème à la note totale de l'examen $Z = X + Y$ et à la moyenne d'un échantillon. C'est la partie la plus technique :

• Il faut exploiter l'indépendance entre les parties 1 et 2 pour additionner les variances.
• L'étude de la variable moyenne $M_n$ nécessite de connaître les propriétés de l'espérance et de la variance pour une moyenne d'échantillon (la variance est divisée par $n$).
• Enfin, la dernière question fait appel à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour estimer une probabilité sur un intervalle centré autour de la moyenne, sans connaître la loi exacte de la somme.