Compétences et clés de réussite

Cet exercice est un classique des épreuves du Baccalauréat, combinant deux piliers du programme de Spécialité Mathématiques : les probabilités conditionnelles et les suites numériques. La structure est bipartite : une première partie dédiée à une situation concrète sur un nombre fini d'étapes, et une seconde généralisant le problème via une suite récurrente. Voici les points techniques essentiels pour réussir ce type de sujet.

1. Modélisation par Arbre Pondéré et Probabilités Totales

La première étape consiste toujours à traduire l'énoncé en un arbre de probabilités. Il est crucial de bien distinguer les probabilités simples (premier niveau de l'arbre) des probabilités conditionnelles (branches secondaires). Une erreur fréquente est de confondre $P_A(B)$ (probabilité de B sachant A) et $P(A \cap B)$ (probabilité de l'intersection). Pour calculer la probabilité d'un événement à l'étape suivante (ici $R_2$), l'utilisation de la formule des probabilités totales est indispensable. Elle permet de sommer les probabilités des chemins menant au succès.

2. Variable Aléatoire et Espérance

L'exercice introduit une variable aléatoire $Z$ comptant le nombre de succès. Pour établir la loi de probabilité, il faut identifier toutes les issues possibles de l'expérience aléatoire (les chemins de l'arbre) et associer à chaque valeur de $Z$ la probabilité correspondante. Le calcul de l'espérance mathématique $E(Z)$ demande de la rigueur arithmétique : c'est la moyenne pondérée des valeurs par leurs probabilités. L'interprétation concrète (nombre moyen de réussites sur un grand nombre d'essais) est souvent demandée.

3. Passage aux Suites Arithmético-Géométriques

La partie B fait le lien entre l'évolution des probabilités et les suites. On obtient une relation de récurrence de la forme $x_{n+1} = a x_n + b$. C'est la signature d'une suite arithmético-géométrique. Pour l'étudier, la méthode est standardisée :

• On introduit une suite auxiliaire $(u_n)$ (donnée par l'énoncé).
• On démontre que $(u_n)$ est géométrique en prouvant que $u_{n+1} = q \times u_n$.
• On exprime $u_n$ puis $x_n$ en fonction de $n$.

4. Limites et Interprétation

L'analyse se termine par le calcul de la limite de la suite $(x_n)$. Puisque la raison de la suite géométrique est comprise entre -1 et 1 (ici $q=0,2$), la suite converge vers 0, ce qui simplifie l'expression de la limite de $x_n$. Cette valeur limite (ici le point fixe de la fonction $f(x)=ax+b$) représente la probabilité de réussite à long terme, une fois le régime "stabilisé".