Compétences et clés de réussite pour l'exercice 4 du sujet Métropole 2 2024

Cet exercice de géométrie dans l'espace, extrait du deuxième sujet du Baccalauréat 2024 en Métropole, se présente sous la forme d'un QCM de type Vrai/Faux avec justification. Ce format, fréquent dans les épreuves de spécialité mathématiques, demande non seulement de l'intuition pour deviner la réponse, mais surtout une rigueur démonstrative pour valider les affirmations. Voici les points méthodologiques essentiels pour aborder sereinement ce type de problème.

1. Vérification d'une équation cartésienne de plan

Dans la première affirmation, il est question de vérifier si une équation donnée correspond au plan défini par trois points A, C et D. Plutôt que de déterminer l'équation du plan ab initio (ce qui implique de trouver un vecteur normal via le produit vectoriel ou la résolution d'un système), la méthode la plus efficace consiste souvent à tester les coordonnées des trois points dans l'équation proposée. Si l'égalité est vérifiée pour A, C et D, et que ces points ne sont pas alignés, alors l'équation est correcte.

2. La coplanarité de quatre points

Pour déterminer si quatre points A, B, C et D sont coplanaires, il faut vérifier si le quatrième point (ici B) appartient au plan formé par les trois autres. Une fois l'équation du plan (ACD) validée (ou invalidée) à la question précédente, il suffit de remplacer les coordonnées de B dans cette équation. Si le résultat est nul, les points sont coplanaires. Une autre approche vectorielle consiste à chercher s'il existe une relation de linéarité entre les vecteurs, par exemple si $\vec{AB}$ peut s'écrire comme combinaison linéaire de $\vec{AC}$ et $\vec{AD}$.

3. Position relative de deux droites dans l'espace

L'étude de l'intersection de deux droites (AC) et (BH) nécessite de la prudence. Dans l'espace, deux droites peuvent être sécantes, parallèles ou non coplanaires (ni sécantes ni parallèles). Pour prouver qu'elles sont sécantes, il faut montrer qu'elles possèdent un point commun unique. La méthode classique consiste à utiliser les représentations paramétriques des deux droites et à résoudre le système associé. Si le système admet une solution unique pour les paramètres, les droites se coupent.

4. Le projeté orthogonal

La dernière affirmation porte sur la notion de projeté orthogonal d'un point sur un plan. Pour affirmer que H est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC), deux conditions doivent être réunies :

• Le point H doit appartenir au plan (ABC). Cela se vérifie en injectant les coordonnées de H dans l'équation cartésienne du plan (ABC).
• Le vecteur $\vec{DH}$ doit être un vecteur normal au plan (ABC). Il faut donc vérifier que $\vec{DH}$ est colinéaire au vecteur normal du plan (ABC) que l'on peut extraire directement de son équation cartésienne ($x - y + 2z - 2 = 0$).

La maîtrise de ces concepts de géométrie analytique (vecteurs normaux, produits scalaires, systèmes paramétriques) est indispensable pour réussir cet exercice classique du baccalauréat.