Analyse de l'Exercice 1 : Probabilités et Statistiques - Métropole Sujet 2 2024

Ce premier exercice du sujet 2 de Métropole 2024 couvre un large spectre du programme de probabilités en classe de Terminale Spécialité Mathématiques. Il se décompose en trois parties distinctes : une analyse conditionnelle classique, une modélisation par la loi binomiale, et une étude de la convergence via la somme de variables aléatoires et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs concepts fondamentaux et savoir jongler entre différentes notations probabilistes.

1. Probabilités conditionnelles et arbres pondérés

La première partie demande de traduire un énoncé concret (enquête de satisfaction après un examen) en langage mathématique. Les compétences clés incluent :

• La construction rigoureuse d'un arbre de probabilités, en identifiant correctement les probabilités conditionnelles (sur les branches secondaires) et les probabilités totales.
• La capacité à retrouver une inconnue (ici notée $x$) en utilisant la formule des probabilités totales. C'est une variante de l'exercice classique où l'on cherche une probabilité finale ; ici, on connaît le résultat final et on remonte aux causes.
• L'utilisation de la formule de Bayes de manière implicite pour calculer une probabilité conditionnelle inversée (probabilité d'avoir réussi sachant qu'on a répondu oui).

2. Loi Binomiale et seuils

La seconde partie introduit une variable aléatoire discrète modélisant une note. Les points essentiels sont :

• La reconnaissance des paramètres de la loi binomiale $B(n, p)$.
• La résolution de problèmes de seuil : trouver $k$ tel que $P(N \geq k)$ ou $P(N \leq k)$ atteigne une certaine valeur. Cela nécessite souvent l'usage de la calculatrice.

3. Somme de variables aléatoires et Bienaymé-Tchebychev

La dernière partie est plus théorique et fait appel à des notions souvent discriminantes au Bac :

• La manipulation de l'espérance et de la variance pour une somme de variables aléatoires indépendantes ($S$) et pour une moyenne ($M$). Il est crucial de connaître les propriétés de linéarité de l'espérance ($E(aX) = aE(X)$) et la propriété quadratique de la variance ($V(aX) = a^2 V(X)$).
• L'application de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Cette question demande de la rigueur dans la rédaction : il faut identifier l'écart à la moyenne et la majoration de la probabilité de l'écart pour justifier une affirmation sur la concentration des valeurs autour de l'espérance.

En résumé, cet exercice complet vérifie la capacité de l'élève à passer d'un modèle simple à une analyse asymptotique plus complexe.