Analyse de l'Exercice 3 : Équations Différentielles et Intégration

L'exercice 3 du sujet de Baccalauréat de mathématiques 2024 pour les Centres Étrangers (Groupe 1) est un classique incontournable de l'analyse en classe de Terminale. Il combine l'étude des équations différentielles linéaires du premier ordre avec des notions de trigonométrie et de calcul intégral. Cet exercice permet d'évaluer la capacité des élèves à manipuler des fonctions exponentielles et trigonométriques dans un contexte d'équation fonctionnelle.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs compétences fondamentales du programme de spécialité mathématiques :

• Résolution d'équations différentielles homogènes : La première partie de l'exercice demande de traiter l'équation de base $y' = y$. Il est crucial de connaître par cœur la forme générale des solutions de $y' = ay$, qui s'expriment à l'aide de la fonction exponentielle. Savoir démontrer que la seule solution constante est la fonction nulle est un test de compréhension fine des dérivées.
• Validation d'une solution particulière : L'exercice introduit une équation avec second membre faisant intervenir des fonctions trigonométriques. Le candidat ne doit pas résoudre cette équation ex nihilo, mais vérifier qu'une fonction $h(x)$ donnée est bien solution. Cela nécessite une dérivation rigoureuse de fonctions composées de sinus et cosinus.
• Principe de superposition et équivalence : Le cœur théorique de l'exercice repose sur la démonstration que toute solution s'écrit comme la somme de la solution particulière et d'une solution de l'équation homogène. Il faut savoir manipuler l'équivalence : $f$ solution de $(E) \iff f-h$ solution de $(E_0)$. C'est une méthode standard à maîtriser absolument.
• Condition initiale : La recherche d'une unique solution $g$ telle que $g(0)=0$ fait appel à la résolution d'une équation simple pour déterminer la constante d'intégration.
• Calcul intégral : La dernière question débouche sur un calcul d'intégrale. Ici, la difficulté réside dans la linéarité de l'intégrale et la connaissance des primitives usuelles ($\\text{e}^x$, $\\cos(x)$, $\\sin(x)$). Attention aux signes lors de l'intégration des fonctions trigonométriques !

Conseils méthodologiques

Face à ce type d'exercice, la rigueur dans la rédaction est primordiale. Lorsque vous dérivez la fonction $h$, explicitez bien les calculs pour montrer que vous retrouvez le second membre de l'équation $(E)$. Pour la question sur l'équivalence, procédez par double implication ou par équivalence directe en justifiant chaque étape par la linéarité de la dérivation.

Enfin, pour l'intégrale finale, prenez le temps de vérifier vos primitives. Une erreur de signe sur la primitive de $\\sin(x)$ (qui est $-\\cos(x)$) est fréquente et peut fausser le résultat numérique final.