Compétences et clés de réussite

Cet exercice 3 du Baccalauréat de Mathématiques (Session 2024, Métropole, Sujet 1) est un questionnaire de type Vrai/Faux avec justification. Il est conçu pour tester la maîtrise globale du candidat sur le chapitre des suites numériques. Pour réussir cet exercice, il ne suffit pas d'intuiter la réponse ; la rigueur de la démonstration est le critère principal d'évaluation.

1. Maîtrise des suites arithmético-géométriques

La première affirmation porte sur une configuration classique : une suite définie par une relation de récurrence affine ($t_{n+1} = at_n + b$). L'objectif est de reconnaître la suite auxiliaire géométrique. Pour valider ou réfuter l'affirmation :

• Il faut exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $t_{n+1}$, puis substituer la relation de récurrence de $t_n$.
• L'étape clé consiste à factoriser l'expression obtenue pour faire apparaître $w_n$ (c'est-à-dire $t_n - 10$).
• Si l'on obtient une relation de type $w_{n+1} = q \times w_n$, la suite est bien géométrique.

2. Théorèmes de convergence et inégalités

La deuxième affirmation demande d'analyser la convergence d'une suite définie à partir d'un encadrement. C'est l'application directe du théorème des gendarmes (ou théorème d'encadrement). La clé de réussite réside dans la manipulation correcte des inégalités :

• Diviser l'encadrement de $S_n$ par $n$ (en vérifiant que $n > 0$) pour faire apparaître $u_n$.
• Calculer les limites des termes minorants et majorants (ici des fonctions rationnelles simples).
• Conclure proprement en citant le théorème.

3. Le Raisonnement par Récurrence

Face à une formule explicite à vérifier pour une suite définie par récurrence (Affirmation 3), le réflexe doit être le raisonnement par récurrence. Bien que le calcul des premiers termes puisse donner une intuition (ou un contre-exemple rapide si l'affirmation est fausse), seule la récurrence offre une preuve générale si l'affirmation est vraie. Il faut soigner les étapes d'initialisation et d'hérédité, notamment le travail sur les fractions lors de l'étape $v_{k+1} = 2 - 1/v_k$.

4. Croissance comparée et Exponentielle

L'étude de la limite de $u_n = e^n - n$ nécessite de lever une forme indéterminée du type $\infty - \infty$. La méthode attendue ici est la factorisation par le terme prépondérant (ici $e^n$). Le candidat doit ensuite utiliser les résultats de croissance comparée (limite de $n/e^n$ en $+\infty$) pour conclure rigoureusement.

5. Algorithmique et Théorème de la limite monotone

La dernière question mêle lecture de script Python et analyse théorique. Le script implémente une méthode d'approximation (type méthode de Héron). Les compétences requises sont :

• Comprendre la boucle for et la récurrence sous-jacente traduite par le code.
• Utiliser le théorème de convergence monotone : la suite est décroissante et minorée, donc elle converge vers une limite $\ell$.
• Savoir que cette limite $\ell$ doit vérifier l'équation du point fixe $f(\ell) = \ell$. La résolution de cette équation permet de valider ou non la valeur $\sqrt{2}$.