Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2024 (Métropole Septembre, Sujet 1) aborde deux thèmes majeurs des probabilités : la loi binomiale et l'étude de sommes de variables aléatoires indépendantes avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Partie A : Modélisation par une loi binomiale

Dans cette première partie, l'élève doit démontrer sa capacité à modéliser une situation concrète (contrôle de qualité) par une loi de probabilité usuelle.

• Justification de la loi : Il est essentiel de repérer la répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (tirage avec remise ou assimilé) pour justifier l'usage de la loi binomiale.
• Calculs de probabilités : Les questions demandent de calculer la probabilité d'événements exacts $P(X=k)$ ou cumulés (au moins $k$ succès). L'utilisation efficace de la calculatrice est recommandée ici.
• Recherche de seuil : La dernière question nécessite de déterminer une taille d'échantillon $n$ pour satisfaire une condition de probabilité. Cela implique généralement la résolution d'une inéquation faisant intervenir des puissances, souvent résolue à l'aide du logarithme népérien.

Partie B : Somme de variables et concentration

Cette partie est plus théorique et fait appel aux propriétés algébriques de l'espérance et de la variance, ainsi qu'aux inégalités de concentration.

• Espérance d'une somme : L'élève doit savoir que l'espérance est linéaire. Pour une somme $S$ de 100 variables identiques, $E(S) = 100 \times E(M_i)$.
• Écart-type d'une somme : Point crucial : la variance est additive uniquement si les variables sont indépendantes (ce qui est admis ici). On utilise la relation $V(S) = \sum V(M_i)$ pour démontrer que l'écart-type de la somme est égal à $\sqrt{n} \times \sigma$. C'est une erreur classique de penser que l'écart-type est simplement additif.
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : L'exercice se conclut par l'application de cette inégalité. Il faut d'abord traduire l'énoncé (probabilité que la masse soit comprise dans un intervalle) sous la forme d'un événement d'écart à la moyenne $|S - E(S)| \geqslant \delta$, puis appliquer la formule du cours pour majorer cette probabilité et isoler l'inconnue $\sigma$.

Cet exercice est excellent pour réviser la transition entre les lois discrètes classiques et les théorèmes limites ou de concentration, compétences fondamentales du programme de Terminale.