Analyse de l'exercice : Vrai ou Faux sur l'analyse

Cet exercice 2 du sujet 2 du Baccalauréat 2024 pour la zone Amérique du Sud propose un format classique mais exigeant : le questionnaire à choix de réponse type Vrai ou Faux avec justification. Ce type d'exercice teste non seulement la capacité de l'élève à effectuer des calculs, mais surtout sa maîtrise du raisonnement mathématique et de la rédaction. Une réponse sans justification ou avec une justification erronée ne rapporte aucun point, ce qui oblige à une rigueur absolue.

Le sujet est divisé en deux parties indépendantes, balayant deux piliers majeurs du programme de Terminale : l'étude des suites numériques et les équations différentielles.

Compétences et clés de réussite

1. Maîtrise des suites arithmético-géométriques

La première partie se concentre sur une suite définie par récurrence de la forme $u_{n+1} = au_n + b$. Pour réussir cette section, le candidat doit mobiliser plusieurs savoir-faire :

• Étude des variations et bornes : L'affirmation concernant la décroissance et la minoration nécessite souvent l'utilisation du raisonnement par récurrence. Il faut être capable d'initialiser la propriété et de démontrer l'hérédité en manipulant les inégalités. Alternativement, l'étude du signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ est une méthode standard.
• Limites de suites : Comprendre le comportement asymptotique est crucial. L'élève doit savoir appliquer le théorème du point fixe (si la suite converge, sa limite $l$ vérifie $l = al + b$) ou utiliser les théorèmes de comparaison/opérations sur les limites.
• Suites auxiliaires : La transformation d'une suite arithmético-géométrique en suite géométrique via un changement de variable ($v_n = u_n - \alpha$) est un classique. Il faut savoir prouver que le rapport $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ est constant pour valider la nature géométrique.

2. Équations différentielles et géométrie

La seconde partie aborde l'équation différentielle linéaire du premier ordre $y' = ay + b$. Les points clés incluent :

• Solutions constantes : Il est impératif de comprendre qu'une fonction constante a une dérivée nulle ($y' = 0$). Remplacer $y'$ par 0 dans l'équation permet de trouver rapidement la valeur de la solution constante, sans avoir à résoudre l'équation complète.
• Lien entre dérivée et tangente : L'affirmation sur le coefficient directeur de la tangente fait appel à l'interprétation géométrique du nombre dérivé. Le candidat doit se rappeler que le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$ est égal à $f'(a)$.
• Utilisation de l'équation différentielle : Une astuce pour gagner du temps consiste à utiliser la relation $(E)$ elle-même pour calculer $f'(1)$ si l'on connaît $f(1)$, plutôt que de dériver l'expression explicite de la solution, bien que la résolution complète de l'équation différentielle avec la condition initiale $f(0)=0$ soit souvent nécessaire pour déterminer $f(1)$.

En résumé, cet exercice demande de jongler entre calcul algébrique pur et interprétation graphique, tout en rédigeant des preuves concises pour valider ou infirmer les propositions.