Analyse globale de l'exercice

L'exercice 2 du sujet 1 de Métropole 2024 est un classique structuré autour du thème des probabilités, enrichi par des notions plus récentes du programme de Spécialité Mathématiques comme les sommes de variables aléatoires et les inégalités de concentration. Il permet d'évaluer la capacité du candidat à modéliser une situation réelle (satisfaction client), à effectuer des calculs conditionnels et à raisonner sur des variables aléatoires discrètes.

Compétences et clés de réussite

1. Maîtrise de l'arbre pondéré et des probabilités conditionnelles

La première partie de l'exercice repose sur la construction rigoureuse d'un arbre de probabilités. Les clés pour réussir cette étape sont :

• La modélisation des événements : Il faut identifier clairement la partition de l'univers (ici les canaux d'achat $I$, $M$, $G$) et l'événement étudié (Satisfaction $S$).
• La lecture de l'énoncé : Les pourcentages donnés correspondent soit à des probabilités simples (branches primaires), soit à des probabilités conditionnelles (branches secondaires, du type $P_I(S)$).
• L'utilisation de la formule des probabilités totales : Pour calculer $P(S)$, il est indispensable de sommer les probabilités des intersections correspondant aux chemins menant à $S$.
• L'inversion du conditionnement : La question demandant la probabilité qu'un client vienne d'internet sachant qu'il est satisfait requiert l'utilisation de la définition de la probabilité conditionnelle $P_S(I) = \frac{P(I \cap S)}{P(S)}$.

2. Justification et application de la Loi Binomiale

La transition vers la loi binomiale est un standard du Bac. Pour obtenir tous les points, la rédaction doit être précise :

• Identifier une épreuve de Bernoulli (Succès/Échec).
• Justifier la répétition de manière identique et indépendante (ici via l'assimilation à un tirage avec remise).
• Préciser les paramètres $n$ (nombre de répétitions) et $p$ (probabilité du succès).
• L'usage de la calculatrice est attendu pour les calculs de probabilités cumulées ($P(X \geq k)$).
• Pour la recherche de la taille de l'échantillon (seuil de 0,99), la résolution passe par une inéquation faisant intervenir les logarithmes ($n \ln(1-p) < \ln(...)$).

3. Somme de variables et Bienaymé-Tchebychev

La dernière partie aborde des concepts plus fins. L'élève doit savoir que :

• L'espérance est linéaire : $E(T_1 + T_2) = E(T_1) + E(T_2)$.
• La variance est additive uniquement si les variables sont indépendantes, ce qui est précisé dans l'énoncé : $V(T_1 + T_2) = V(T_1) + V(T_2)$.

Enfin, la justification de la probabilité liée à l'intervalle $[5; 9]$ fait appel à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. L'astuce réside ici dans le passage des variables discrètes entières à l'écart type. Il faut remarquer que l'événement $|T - E(T)| < 3$ (écart strict inférieur à 3) couvre exactement les entiers compris entre 5 et 9 (inclus) lorsque l'espérance vaut 7. L'application directe de la formule permet alors de minorer la probabilité par $1 - \frac{V(T)}{3^2}$.