Introduction
Allez les amis, on est parti pour étudier la parité et l'interprétation graphique de cette parité pour les fonctions \(x^2\), \(x^3\) et \(1/x\). On s'y met tout de suite. On a déjà parlé de la parité d'une fonction. La parité d'une fonction, c'est savoir si elle est paire ou si elle est impaire. Pour étudier la parité d'une fonction, vous écrirez toujours \(f(-x)\). Ensuite, vous allez travailler jusqu'à ce que vous arriviez avec \(2x\), auquel cas la fonction est paire, ou \(-f(x)\), auquel cas la fonction est impaire.
Parité de la fonction \(x^2\)
Si je prends le cas de \(x^2\), \(f(-x)\), je remplace \(x\) par \(-x\), ce qui donne \(-x^2\). Attention, \(-x^2\) n'est pas la même chose que \(-x\)^2. Si vous écrivez \(-x^2\), le carré ne touche que le \(x\). Donc, nous avons bien \(-x^2\), or \(-x^2\) c'est comme \(-x \times -x\), et \(- \times -\) s'annule, il reste \(x \times x\), soit \(x^2\). Donc, \(f(-x)\) est égal à \(x^2\), qui est lui-même égal à \(f(x)\). Du coup, la fonction \(f\), la fonction carrée, est une fonction paire. Comment ça se traduit graphiquement ? Pour les fonctions paires, il y a une symétrie par rapport à l'axe vertical. Autrement dit, si je prends la fonction carrée et que je la rabats, cette ligne-là va venir se reposer sur celle qui est de l'autre côté.
Parité de la fonction \(x^3\)
Qu'est-ce qui se passe avec \(x^3\) ? Je fais \(g(-x)\), je vais travailler pour voir si j'arrive à \(g(x)\) ou \(-g(x)\). Si c'est \(g(x)\), ça sera paire, si c'est \(-g(x)\), ça sera impaire. Mais \(g(-x)\) ça me fait \(-x^3\). Attention, surtout pas \(-x\)^3. Le cube ne concerne que le \(x\), donc c'est \(-x \times -x \times -x\), soit \(-x^3\). Donc, c'est \(-g(x)\). Je suis parti de \(g(-x)\), j'ai travaillé et je suis arrivé à \(-g(x)\). Donc, la fonction \(g(x)\), qui est la fonction cube, est une fonction impaire. Quand je vais tracer la fonction \(g(x)\), je vais avoir une symétrie par rapport au point central.
Parité de la fonction \(1/x\)
On finit avec la fonction inverse \(h(x)\). Donc, je recommence \(h(-x) = 1 / -x\). Le moins, je peux choisir de le mettre en bas ou en haut. Je vais dire que c'est \(-1 / x\), c'est bien \(-h(x)\). La fonction inverse est une fonction impaire. Et quand je vais la tracer, je m'en rends compte parce que je reconnais bien la symétrie centrale par rapport à l'origine. Les fonctions carrée et cube sont paires, les fonctions inverse et cube sont impaires. Vous connaissez les symétries qui vont avec, on les a dessinées là. Vous êtes prêts pour le contrôle, soyez des champions, sachez jouer.