17. Encadrement des cubes

Introduction

Allez les amis, on est parti pour donner des encadrements de \(x^3\) quand on vous a donné des encadrements de \(x\) ou d'un intervalle. On s'y met pour donner un encadrement de \(x^3\), c'est-à-dire encadrer \(x^3\) en utilisant des inégalités.

Encadrement de \(x^3\) par deux nombres

Si je veux encadrer \(x^3\) par deux nombres, il faut d'abord que je me dise : "Bon, \(x\) qui est compris entre -3 et 2, on a vu que la fonction \(x^3\) est strictement croissante. Du coup, quand j'ai deux nombres \(a\) et \(b\), leur image par \(x^3\), c'est-à-dire \(a^3\) et \(b^3\), reste dans le même ordre que \(a\) et \(b\). C'est-à-dire que si j'ai trois nombres tels que le premier est plus petit que le deuxième qui est plus petit que le troisième, le premier au cube sera plus petit que le deuxième au cube qui sera plus petit que le troisième au cube. Donc je peux écrire directement que \(-3^3\) est plus petit que \(x^3\) qui est plus petit que \(2^3\). J'ai juste à gérer les inégalités pour qu'elles soient consistantes et j'ai encadré \(x^3\). C'est aussi simple que ça avec \(x^3\), il n'y a pas de surprise. Si trois nombres sont encadrés comme ça, \(x^3\) est encadré de la même manière. Et si vous voulez vraiment régaler votre prof, vous faites les calculs et \(2^3\) ça fait 8, \(x^3\) reste \(x^3\) et \(-3^3\) ça fait -27.

Encadrement de \(x^3\) sous forme d'intervalle

Et qu'est-ce qui se passe si on voulait donner l'encadrement sous forme d'intervalle ? Eh bien, ne vous stressez pas. Vous dites : "Moi, tout ce que je sais faire, c'est transformer des inégalités avec \(x\) en égalité avec \(x^3\). Mais si \(x\) appartient à l'intervalle \([-3, +\infty[\), vous savez le transformer en encadrement. Ça veut juste dire que \(x^3\) est sur cette zone là. Donc en fait, ça veut dire que \(x\) est inférieur ou égal à 3 et que du coup \(x^3\) sera supérieur ou égal à \(3^3\), c'est-à-dire \(x^3\) est plus grand que 27. Nous avons encadré \(x^3\) et je prends un point. On a pris le temps de vous faire réviser, faites vraiment les exercices en dessous, ça va vous faire travailler le cerveau pour le contrôle. À vous de jouer, vous êtes des machines.