13. Déterminer des encadrements avec la fonction inverse

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment donner très simplement des encadrements de \( \frac{1}{x} \) quand vous avez un encadrement de \( x \). Quand vous devez donner un encadrement de \( \frac{1}{x} \) en partant de \( x \), cela signifie que vous devez trouver un moyen de le faire, mais à la fin, je veux \( \frac{1}{x} \) compris entre quelque chose et quelque chose.

Processus d'encadrement

C'est toujours le même processus. Je sais que \( x \) est compris entre 2 et 7. Donc, vu que c'est \( x \), je me positionne sur cette barre horizontale entre 2 et 7. Je vais chercher l'inverse de ces deux nombres, soit \( \frac{1}{2} \) et \( \frac{1}{7} \). Si \( x \) se situe entre 2 et 7, alors \( \frac{1}{x} \) va se situer entre \( \frac{1}{2} \) et \( \frac{1}{7} \). Comment ? Eh bien, \( \frac{1}{x} \) va forcément être plus petit que le plus grand des deux, c'est-à-dire \( \frac{1}{2} \), et il va être plus grand que le plus petit des deux, donc plus grand que \( \frac{1}{7} \).

Changement d'inégalités

Mais attention, les inégalités changent de sens. En effet, j'avais \( 2 < x < 7 \) et maintenant j'ai \( \frac{1}{2} > \frac{1}{x} > \frac{1}{7} \). On est encore une fois face à cette histoire de quand je compare l'image de trois objets, je les classe dans l'ordre : \( a < b < c \). Ensuite, je réfléchis : si ma fonction est croissante, je garde l'ordre et l'égalité. Si la fonction est décroissante, je change l'ordre. Dans le cas de \( \frac{1}{x} \), la fonction est décroissante, donc je vais changer les inégalités : \( a > b > c \). Tout a bien été changé.

Encadrement avec un intervalle

Qu'est-ce qui se passe si on vous donne \( x \) sous forme d'un intervalle ? Un intervalle, c'est un encadrement. Si \( x \) appartient à \( ]-5, -3] \), ça veut dire que \( x \) est inférieur ou égal à -3 et il est supérieur strict à -5. Je vais positionner -5 et -3. Je vais positionner leur image, soit \( \frac{1}{-5} \) et \( \frac{1}{-3} \). Si \( x \) se situe entre ces deux nombres, alors \( \frac{1}{x} \) va se situer entre ces deux nombres. Le plus grand est \( -\frac{1}{5} \) et le plus petit est \( \frac{1}{-3} \).

Cas particulier

Qu'est-ce qui se passe si \( x \) est compris entre -2 et 3 ? J'ai positionné -2 et 3. Je vais chercher les images, soit \( \frac{1}{-2} \) et \( \frac{1}{3} \). Quand \( x \) se situe entre -2 et 3, \( \frac{1}{x} \) va se situer entre \( \frac{1}{-2} \) et \( \frac{1}{3} \). Cependant, si \( x \) est négatif et positif, vous pouvez être sûr que vous allez avoir des ennuis et qu'on va se retrouver face à un cas compliqué. Le mieux, c'est encore de s'entraîner. Nous avons mis des exercices en dessous. Faites-les, vous pouvez les faire autant de fois que vous voulez. C'est à vous de jouer, vous êtes les champions.