Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir comment comparer des inverses, donc \(1/x\), avec une fonction qui est aussi étrange que la fonction inverse que je vous ai représenté ici. On se fait ça tout de suite.
Comprendre la fonction inverse
Pour comparer des nombres avec la fonction inverse, il faut d'abord regarder la forme de cette fonction. Elle se lit comme ça : pour des nombres extrêmement négatifs, par exemple -1 million, l'inverse de -1 million, ça va être quasiment zéro. Plus je vais me rapprocher de zéro, plus la valeur de \(1/x\) va tendre vers moins l'infini. Autrement dit, quand je fais \(1/\) par exemple l'inverse de -0,0001, ça vaut en fait -1 000. Donc plus je me rapproche de zéro, plus je vais descendre négativement. En zéro, je n'ai surtout pas le droit de calculer \(1/0\) parce que le monde est monde, je n'ai pas le droit de diviser par 0. En \(x = 0\), la fonction n'a aucune valeur et juste après 0, on reprend en plus l'infini. Autrement dit, \(1/0.0001\) vaut mille et ensuite, quand je vais vers plus l'infini, c'est-à -dire \(1/1\) milliard, ça fait quasiment zéro. Donc cette fonction me suit vraiment comme ça. Il faut faire un saut, elle n'est pas continue. C'est la première fonction que vous rencontrez qui n'est pas continue. On ne peut pas la dessiner sans lever le crayon, on est obligé de lever le crayon en zéro.
Comparer des images avec la fonction inverse
Comment est-ce qu'on va comparer des images ? Maintenant, vous commencez à comprendre que pour comparer des images de nombres, il faut d'abord classer les nombres, par exemple 3 et 4, ensuite se demander si ma fonction est croissante ou décroissante. Si elle est croissante, je garde l'inégalité, si elle est décroissante, je la change.
Prenons 3 et 4, on est tous d'accord pour dire que 3 est plus petit que 4. Mais si on regarde leurs images, elles ne sont pas dans le même sens parce que \(1/3\) est plus grand que \(1/4\). Pourquoi ? Tout simplement parce que la fonction est décroissante. Si la fonction avait été croissante, on aurait gardé le même sens.
Rebelote avec -5 et -11. On a bien -11 qui est plus petit que -5. Vu que la fonction est décroissante, \(1/-11\) va être plus grand que \(1/-5\) car \(1/x\) est décroissante.
Quand nos nombres sont soit à gauche, soit à droite, tout va bien. Qu'est-ce qui se passe quand j'en ai un qui est négatif et un qui est positif ? Par exemple -2 et 3. On est tous d'accord pour dire que -2 est plus petit que 3. Mais si on regarde l'image de -2, ça va être \(1/-2\) et l'image de 3, ça va être \(1/3\). En fait, \(1/3\) est plus grand que \(1/-2\).
On a une fonction qui est décroissante partout, et pourtant, quand \(a\) est plus petit que \(b\), \(1/a\) est plus petit que \(1/b\), alors que normalement, quand on a une fonction décroissante, on devrait changer le signe. Pourquoi ? Parce qu'on a ce problème de continuité au milieu. Ce problème de continuité fait que la règle "quand la fonction est croissante, je conserve les signes et quand la fonction est décroissante, j'inverse les signes" ne marche plus. Elle marche quand vos deux nombres sont à droite, elle marche quand vos deux nombres sont à gauche, mais elle ne marche pas quand vous en avez un à gauche et un à droite.
Dans ce cas, il faut se dire que -2 est négatif donc \(1/-2\) sera négatif, 3 est positif donc \(1/3\) sera aussi positif. \(1/3\) est positif, il est forcément plus grand que \(1/-2\) qui est négatif.
Conclusion
On continue. Si je voulais classer 1, 2, 3, 4, vous commencez à voir le truc et vous dites "ouais, ça a l'air compliqué". En fait, 4, 3, \(\pi\), ils sont tous de ce côté-là donc j'ai juste à dire que par exemple 3 est plus petit que \(\pi\), qui est plus petit que 4. La fonction est décroissante, donc \(1/3\) va être plus grand que \(1/\pi\), qui sera plus grand que \(1/4\).
On garde toujours la même règle de jeu : on classe d'abord les nombres, ensuite on vérifie si la fonction est croissante ou décroissante. Si elle est croissante, on garde l'inégalité, si elle est décroissante, on inverse l'inégalité. Vous faites juste attention au cas où il y en a un qui est à gauche et un qui est à droite.
Maintenant, Ă vous de jouer !