Introduction
Bonjour à tous, nous allons aborder un exercice typique sur les fonctions de référence en seconde. Cet exercice consiste à comparer des nombres avec des carrés sans faire de calculs. C'est un exercice qui utilise une propriété importante de la fonction carrée.
Propriété de la fonction carrée
Dans le chapitre précédent, nous avons vu que lorsqu'une fonction est croissante, le fait de composer par cette fonction ne change pas le sens de l'inégalité. Prenons par exemple le cas d'un intervalle. Si je prends deux nombres \(a\) et \(b\) tels que \(a\) est plus petit que \(b\), quand je vais chercher les images, c'est-à-dire \(a^2\) et \(b^2\), on se rend compte que \(a^2\) est bien plus petit que \(b^2\).
Inversement, si l'on fait exactement la même chose de l'autre côté, donc si je prends ici un \(a\) et un \(b\) tels que \(a\) est plus grand que \(b\), si je vais chercher les images, donc \(a^2\) et \(b^2\), on se rend compte que \(a^2\) est plus grand que \(b^2\).
Autrement dit, quand la fonction est croissante, quand je passe de \(a\) plus petit que \(b\) à \(a^2\) et \(b^2\), je garde le même signe. Quand une fonction est décroissante, quand je passe de \(a\) plus petit que \(b\) à \(a^2\) plus grand que \(b^2\), le signe change.
Exercice de comparaison de nombres
Pour comparer ces nombres sans calcul, on va d'abord classer ce qui est à l'intérieur du carré. Par exemple, si on a \(-5\) et \(-2\), on commence par dire que \(-5\) est plus petit que \(-2\). Mais \(-5\) et \(-2\) sont plus petits que zéro, donc on se place dans la zone où la fonction carrée est décroissante. Donc, \(-5^2\) est plus grand que \(-2^2\).
On peut aussi avoir des nombres positifs. Par exemple, si on a \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(\pi\) et \(7\), on peut dire que \(0 < 1 < 2 < 3 < \pi < 7\). Comme la fonction carrée est croissante pour ces valeurs, on a \(0^2 < 1^2 < 2^2 < 3^2 < \pi^2 < 7^2\).
C'est une technique très utile qui vous servira tout au long de vos études en mathématiques.