Introduction
Allons-y, les familles, nous allons traiter le cas d'une inéquation où nous avons un quotient à gauche et une constante à droite. Je vous rappelle pour la 17e fois que les trois seuls cas d'une équation que vous savez résoudre sont les suivants :
1. Quand vous avez par exemple \(3x + 2 > 0\)
2. Quand vous avez quelque chose fois quelque chose qui est plus grand ou plus petit que zéro
3. Quand vous avez quelque chose sur quelque chose qui est plus grand ou plus petit que zéro
Identification du type d'inéquation
Quand vous voyez cette inéquation, à votre avis, vers quoi on va ? Est-ce qu'on est sur du \(ax + b > 0\), est-ce qu'on est sur du \(x^2 + 1 > 0\) ou du \(a/x > 0\) ? Évidemment, quand on regarde l'équation, ça ressemble plutôt à ça. Donc notre objectif, ça va être de faire apparaître une forme \(a/x > 0\). Pourquoi ? Parce qu'une fois qu'on aura cette forme, on va pouvoir utiliser un tableau de signes pour résoudre l'inéquation.
Résolution de l'inéquation
La première chose à faire, c'est de se débarrasser de ce 2. Pourquoi ? Parce que je veux \(a/x > 0\), je ne veux pas \(a/x > 2\). Donc ce qu'on va faire des deux côtés de l'inéquation, c'est qu'on va soustraire 2. En faisant cela, à droite de l'inéquation, je me retrouve avec \(2 - 2 = 0\) et à gauche j'aurais \(x + 4 - 2 > 0\).
Formidable, j'ai mon \(> 0\), mais le problème c'est que je n'ai pas \(a/x\), j'ai \(a/b\). Je ne veux pas de ça, je veux \(a/x\). Donc la deuxième étape va consister à tout mettre au même dénominateur. Comment est-ce que je fais ça ? J'ai le droit de mettre \(1/2\) à condition que je multiplie aussi par \(2x + 1\).
En faisant cela, je peux écrire que cette phrase est strictement équivalente à une seule barre de fractions avec \(1/(2x + 1)\) à gauche et toujours \(> 0\) à droite. Ensuite, je vais développer ce truc là, donc je laisse mon \(2x + 1\) en bas, mon \(> 0\) n'a pas changé, \(x - 4\) n'a pas changé et c'est parti.
En développant, j'obtiens \(-4x - 2\). Ensuite, je peux simplifier, c'est à dire regrouper les \(x\) ensemble et ce qui n'est pas \(x\) ensemble. Donc \(-4x - 3x = -7x\) et \(-4 - 2 = -6\). En bas, \(2x + 1\) n'a pas changé, donc j'obtiens \(-7x - 6 / (2x + 1) > 0\).
Formidable, je suis arrivé à quelque chose / quelque chose \(> 0\), donc je vais pouvoir faire des signes dans mon tableau. Je vais traiter le haut du tableau et je vais traiter le bas.
Conclusion
En conclusion, les solutions de l'inéquation sont \([-2, -1/2[\). À vous de jouer, on vous a mis des tonnes d'exercices en dessous.