4. Résoudre une inéquation avec la factorisation

Introduction

Allez les amis, on va voir dans cette vidéo comment la factorisation est un outil surpuissant pour vous permettre de résoudre des inéquations avec une somme, c'est-à-dire un plus ou un moins au milieu. Ce que je veux que vous compreniez, c'est que le seul moyen de résoudre une équation, c'est soit vous avez \(a \times x > 0\) comme on vient de le faire, soit vous avez \(a \times b > 0\), soit vous avez \(a \times b > 0\) ou \(a \times b < 0\). Tous les autres cas, notamment \(a + b > 0\) ou \(a - b > 0\), vous ne pouvez strictement rien faire autrement.

Factorisation

La première chose à faire quand vous avez une inégalité, c'est de vérifier qu'elle est bien factorisée. On se rend compte ici très rapidement que cette inégalité n'est pas du tout factorisée. Pourquoi ? J'ai un énorme moins au milieu, donc j'ai bien \(a - b < 0\), vous ne pouvez rien faire si vous ne voulez pas factoriser. Première étape : la factoriser. Je remarque qu'il y a des points communs. Déjà, j'ai un \(x\) ici et j'ai un \(x\) ici. Ensuite, \(2x^2\) c'est presque \(3 \times 2x\). Donc je vais commencer par réécrire cette équation en faisant apparaître les points communs. Donc \(2x^2\), je veux écrire \(2x \times x\) et \(6x\), je veux écrire \(-3 \times 2x\). Et maintenant, les points communs, ils se tiennent là, \(2x\). Du coup, je peux factoriser par \(2x\). Je prends le signe moins au milieu, je le mets. Je me demande, \(2x\), il a été multiplié par quoi ? \(x\). Et \(-3\), il a été multiplié par quoi ? \(2x\). Donc mon inégalité devient en fait : quand est-ce que \(2x \times (x - 3) < 0\) ? Et on se retrouve avec quelque chose de la forme \(a \times b < 0\).

Résolution

Pour résoudre ça, vous allez faire un tableau où vous allez mettre \(x\) ici sur la première ligne, vous allez mettre \(a\), vous allez étudier son signe. Sur la deuxième ligne, vous allez mettre \(b\), étudier son signe. Et sur la troisième ligne, vous allez mettre \(a \times b\). On commence avec le premier, quand est-ce que \(2x\) est plus grand ou égal à 0 ? \(2x\) est plus grand ou égal à 0 si \(x > 0\). Donc \(2x\) est plus grand que 0 quand \(x > 0\). Donc je commence avec \(2x\), je mets mon 0 ici. Quand \(x > 0\), autrement dit quand je suis dans cette zone là, \(2x\) est positif. Et entre les deux, quand je passe de plus à moins, je passe forcément par 0. Très bien, on continue. \(x - 3\), quand est-ce que \(x - 3\) est plus grand que 0 ? Là, je peux me demander quand est-ce qu'il est plus grand que 0, mais je m'en fiche en fait. Je peux aussi me demander quand est-ce qu'il est plus petit que 0, parce que tout ce à quoi ça va me servir, c'est à remplir le tableau. Donc, quand est-ce que \(x - 3\) est plus petit que 0 ? Ça veut dire quand est-ce que \(x\) est plus petit que 3. Donc je mets mon \(x - 3\) ici. Je sais que quand \(x < 3\), \(x - 3\) est négatif. Et entre les deux, quand \(x = 0\), c'est quasiment fini. Je tire mes zéros. Pourquoi ? Parce que quand \(x = 0\), je vais multiplier \(2x\) qui vaut zéro par \(x - 3\) qui est négatif. Zéro fois un truc négatif, ça me fait zéro. Un truc positif fois zéro, ça me fait zéro. Moins par moins, ça fait plus. Plus par moins, ça fait moins. Plus par plus, ça fait plus. Donc, à la question, quand est-ce que \(2x^2 - 6x\), c'est-à-dire \(2x \times (x - 3)\), est négatif, la solution c'est l'ensemble qui va de 0 jusqu'à 3. Est-ce que j'ai le droit de mettre 0 et 3 dans cet ensemble ? Moi, je veux que ma fonction soit plus petite ou égale à zéro. Or là, elle vaut 0 en 0 et 3. J'ai pas le droit de les virer, donc je les mets dedans. La solution, c'est l'intervalle [0,3]. Je prends le point, je m'entraîne sur les exercices qui sont en dessous, parce que ces exercices, ils vont vous donner une espèce de puissance de malades.