4. Résoudre une équation du 2nd degré complexe

Introduction

Allez les amis, on est parti pour comprendre en 5 minutes les équations du style "quelque chose au carré égal quelque chose". Moi, ce que j'aimerais que vous compreniez dès le début, c'est qu'il n'y a qu'un seul type d'équations avec des carrés que vous savez résoudre. C'est celle qui s'affiche à gauche, c'est quand vous avez \(a^2 = b\). Attention, \(a\) n'est pas forcément un nombre, ça peut être une expression, mais le seul truc que vous savez faire, c'est quand vous avez quelque chose au carré tout seul d'un côté et quelque chose de l'autre côté.

Premier exemple

Regardons le premier exemple : \(3x^2 = -7\). On a bien quelque chose, qu'on appellera \(a\), qui vaut \(3x^2\), et qui est égal à \(b\), donc on est bien dans le cas qui est dans la fiche. Je regarde, est-ce que mon \(b\) est positif ou négatif ? Ici, \(b\) est négatif. Je peux dire directement que l'ensemble des solutions est vide, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de solution. En effet, on cherche \(x\) tel que \(3x^2\) soit négatif. Comment est-ce qu'on peut avoir un nombre au carré qui soit négatif ? C'est simplement impossible, car un carré est forcément positif.

Deuxième exemple

Passons au deuxième exemple : \(3x^2 = 0\). Donc là, on a bien \(a^2 = b\), avec \(b\) qui n'est pas forcément négatif, qui en l'occurrence est égal à zéro. Donc \(b\) est plus ou moins grand que 0. Je peux écrire directement que soit \(3x = 0\), soit \(3x = -0\). Mais sauf que 0 et -0, c'est la même chose. Du coup, on fait l'économie de l'écriture, pas besoin de l'écrire deux fois. Je peux écrire directement \(3x = 0\). Donc j'ai ma solution qui vient immédiatement, c'est que \(x\) vaut \(-\frac{2}{3}\). Je vais l'encadrer et j'ai ma réponse : l'ensemble des solutions, c'est \(-\frac{2}{3}\).

Troisième exemple

On continue avec le dernier exemple. Cette équation est un peu piégeuse et c'est ce que vous risquez d'avoir en contrôle. Est-ce que j'ai quelque chose de la forme \(a^2 = b\) ? La vérité, c'est qu'en fait, vous n'avez pas \(a^2 = b\), mais plutôt \(a^2 + c = b\). Donc la première chose à faire, c'est de mettre cette forme-là sous la forme \(a^2 = b\). Donc ce qu'on va faire, c'est qu'on va se débarrasser du \(-9\). Si j'envoie le \(-9\) de l'autre côté, ça donne quoi ? Ça me donne \(3x^2 = 9\). Et là, j'ai bien \(a^2 = b\), donc \(3x^2 = b\). En plus, je regarde ma fiche, je vois que \(b\) est positif. Je peux dire directement que soit \(3x = \sqrt{9}\), soit \(3x = -\sqrt{9}\). Et là, vous connaissez tous la racine de 9, c'est 3. Du coup, j'ai soit \(3x = 3\), soit \(3x = -3\). Pour résoudre \(3x = 3\), on trouve \(x = 1\), et pour \(3x = -3\), on trouve \(x = -1\). Je prends mes deux solutions, vous voyez que pour résoudre les équations au carré, il faut d'abord les mettre sous la forme \(a^2 = b\). Si vous n'y arrivez pas, il n'y a aucun moyen de s'en sortir sans faire ça. Une fois que vous l'avez sous cette forme-là, vous appliquez la technique de la fiche et il faut savoir également résoudre des équations du premier degré. On vous a bien expliqué, faites des exercices, entraînez-vous.