10. Résoudre une équation A(x)/B(x)=C(x)/D(x)

Introduction

Allez les amis, on continue notre série sur les équations en regardant comment gérer des équations où on a un quotient égal à un quotient. Cela prend trois minutes, c'est super simple.

Les trois types d'équations

Ce que j'aimerais que vous reteniez à l'issue de cette séance, c'est que finalement, les équations qu'on résout, il n'y en a pas tant que ça et on a exactement trois types. La première, c'est quand j'ai un nombre au carré qui vaut zéro. La deuxième, c'est quand j'ai un produit qui vaut zéro, autrement dit produit nul. Et la troisième, c'est quand j'ai un quotient qui vaut zéro, autrement dit quotient nul. Je vous rappelle que quand j'ai \(a^2 = 0\), ça veut dire que \(a = 0\). Quand j'ai \(ab = 0\), ça veut dire que \(a = 0\) ou alors \(b = 0\). Et que quand j'ai \(a/b = 0\), ça veut dire que c'est forcément \(a = 0\) et que les valeurs interdites, on va les trouver en résolvant \(b = 0\).

Résolution d'une équation avec un quotient

Quand vous regardez un quotient comme ça, à laquelle de ces équations ça vous fait le plus penser ? Est-ce que c'est \(a^2\), est-ce que c'est \(ab\) ou est-ce que c'est \(a/b\) ? Évidemment, \(a/b\). On a envie d'aller vers cette formule. Sauf que le problème, c'est que dans cette forme là, on a \(a = 0\). Est-ce que ici j'ai \(a = 0\) ? Donc clairement, la première étape, c'est de se dire comment est-ce que je fais apparaître un \(a = 0\). Donc ici, c'est relativement simple. Vous voyez, vous avez tout ce bloc là qui vous embête. Donc ce que vous allez faire, c'est l'enlever des deux côtés de l'équation. Si j'enlève des deux côtés de l'équation, je ne change pas la valeur de l'équation, autrement dit, j'ai le droit de mettre un équivalent. Cette ligne là et la suivante sont équivalentes et la même équation : \(3/(x+2) - 1/(7x) = 0\). Formidable, j'ai mon \(a = 0\).

Conclusion

Vous voyez que dans tous les cas, pour résoudre une équation aussi compliquée que soit-elle, il faut absolument que vous rameniez à soit un carré égal à zéro, soit un produit égal à zéro, soit un quotient égal à zéro. Vous essayez de faire la deuxième pendant que les faces et en la cage. La deuxième est quoi ? Cette fois-ci, vous allez me dire : "Ouais, mais enfin, je crois pas, on était censé faire un quotient égal à un quotient et là on a un quotient égal à un truc qui n'est pas un quotient." Et ouais les gars, vous avez raison, vous avez tout à fait raison. Mais est-ce que \(x+2\) n'est pas en fait \(x+2/1\) ? Et là, on a un quotient égal à un quotient. On referme la technique, on veut égaler zéro, donc on va passer ça de l'autre côté et ensuite on veut du \(a/b\), donc on va tout mettre au même dénominateur. Donc, je passe ce bloc de l'autre côté, il devient négatif, donc je me retrouve avec \((x^2+1)/x - (x-2)/1 = 0\). Je vais tout passer au même dénominateur en multipliant ici et ici par ce qui manque. Donc, ça va faire \((x^2+1 - x(x-2))/x = 0\). Voilà, là j'ai bien un \(a/b = 0\). Je vais gérer une grande barre avec écrit \(x - 1\) en dessous et j'aurais eu lieu au \(x^2 + 1 - x(x-2) = 0\). Et maintenant, je peux enfin soyez ce que j'avais en eau. Donc moi, je vais distribuer mon moins partout ici. Ça va vite, mais ça c'est du calcul de base. Donc si vous ne savez pas faire ça, il faut revoir les vidéos qu'on a fait sur le calcul qui vont vous aider à faire ça. Donc, \(x^2 - x(x-2)\) ça se simplifie. \(-1 + x - 2\) ça fait \(x - 1\). Donc, j'ai \(x - 1/x = 0\) et j'ai bien \(a/b = 0\). Du coup, je peux dire que quand \(a/b = 0\), les valeurs interdites, je vais les avoir avec \(b\) et les solutions, je vais les avoir avec \(a\). Donc ça, ça veut dire directement que \(x - 1 = 0\) et que \(x\) doit être différent de \(0\). Et ça, ça me donne directement la solution qui est \(x = 1\) et la valeur interdite qui est \(x \neq 0\). Car je prends tous les points, c'est pas compliqué. Et ce qui est compliqué et là où vous avez galéré en réalité, c'est ça, c'est ces petits calculs à la con, factoriser et où mettre un dénominateur, manipuler des polynômes, etc. Pour ça, il n'y a pas trente-six mille solutions, faut vous soyez des machines à calculer. Le calcul, ça se travaille. On vous a mis des exercices en dessous, il y a tous les pièges possibles, ils tous les moyens de se planter possible. Faites-les jusqu'à ce que vous ayez le cerveau qui fume et je vous assure que ça va aller beaucoup mieux.