7. Résoudre une équation avec les identités remarquables

Introduction

Allez les amis, on est parti pour utiliser les identités remarquables pour résoudre des équations avec du \(x^2\) qui vaut zéro. Vos yeux vont s'habituer à reconnaître dans quels cas je vais utiliser la factorisation et dans quels cas je dois utiliser les identités remarquables.

Exemple 1

Quand vous avez une équation comme \(x^2 - 2x + 1 = 0\), il y a plusieurs cas de figure qui se posent. Le premier, c'est que normalement vous êtes tétanisé parce qu'en seconde, cette équation là, elle fait quand même peur. Deuxième réflexe, vous avez vu nos vidéos, vous avez notamment vu la vidéo juste avant, on dit que pour résoudre une équation contenant du \(x^2\), la première solution c'est d'essayer de factoriser. Donc si j'essaie de factoriser par \(x\), parce que là je vois que j'ai du \(x^2\) et que j'ai du \(x\), est-ce que ça marchera ? Ah ben ça ne marchera pas malheureusement, parce que j'ai ce \(1\), ce \(1\) où j'aurai beau faire ce que je veux, je ne pourrais pas faire apparaître de \(x\). Donc j'aurais du \(x^2\), du \(x\), mais j'aurais pas de \(x\) là, donc je ne pourrais pas factoriser par \(x\). Ce n'est pas une solution qui marche là. Il faut vraiment que vous vous entraîniez, vos yeux et c'est pour ça qu'on vous a fait des exercices et qu'il y en a plein en dessous. Il faut que vous appreniez à reconnaître les identités remarquables. \(x^2 - 2x + 1 = 0\) c'est exactement la même chose que \((x - 1)^2 = 0\). Pourquoi ? Parce que quand je développe ça, \((a - b)^2\) fait \(a^2 - 2ab + b^2\), donc \(x^2 - 2x + 1\).

Exemple 2

On recommence avec celui-là : \(x^2 - 80 = 0\). Donc là, si vous avez vu la vidéo trois ou quatre vidéos avant, il y a moyen de s'en sortir en disant je passe le \(80\) de l'autre côté et je me retrouve avec \(x^2 = 80\) et ça, ça veut dire que \(x\) est égale à plus ou moins racine de \(80\). C'est une méthode. Il y en a une qui est un peu plus élégante, c'est de retenir que en fait \(x^2 - 80\) c'est comme \(x^2 - 9^2\). Donc cette équation, j'ai aussi le droit de l'écrire comme ça, ça ne change pas. Sauf que \(x^2 - 9^2 = 0\) c'est une identité remarquable, c'est la troisième \(a^2 - b^2\), et quand j'ai \(a^2 - b^2\), ça me donne tout simplement \(a - b\) fois \(a + b\). Donc \(x - 9\) fois \(x + 9\).

Exemple 3

Pour la troisième, parce que cet atout mais on commençait à s'embêter un petit peu, faisons en une qui est méga vénère. De toute manière, quand je laisse un grand bout de tableau pour une équation, c'est qu'on va pas rigoler. Donc là, vous vous dites, mais jamais de ma vie je reconnais une identité remarquable. Et en fait, vous avez tout à fait raison, franchement, identité remarquable, je la vois pas. Par contre, il y a quelque chose que je peux reconnaître, c'est qu'on a un facteur commun. Donc ici, pour le coup, on va devoir tenter de factoriser avant de résoudre. On a donc \(3x^3 + 6x^2 + 3x = 0\). Je vais écrire que c'est \(3x \cdot x^2 + 3x \cdot 2x + 3x \cdot 1 = 0\). Et maintenant, je cherche les points communs. Les points communs, c'est \(3\) et \(x\). Donc en fait, je vais pouvoir factoriser par \(3x\). Donc \(3x \cdot (x^2 + 2x + 1) = 0\). Et regardez le magnifique show ce que ça donne, on a de nouveau un \(a \cdot b = 0\). Donc je peux dire que c'est soit \(a\) qui vaut \(0\), donc \(3x = 0\), soit \(x^2 + 2x + 1 = 0\). Et ça, c'est une nouvelle identité remarquable. Donc je peux dire que soit \(x = 0\), soit \(x^2 + 2x + 1 = 0\). Et \(x^2 + 2x + 1 = 0\), ça veut dire que \(x = -1\). Donc finalement, \(x = 0\) ou \(x = -1\).

Conclusion

Votre travail en tant que solvay d'équation, c'est de prendre une équation compliquée, de la factoriser pour pouvoir utiliser une de ces trois formules et casser votre grosse équation compliquée en plusieurs équations plus simples. On vous a mis des exercices en dessous, à vous de jouer.