16. Factoriser avec une constante

Introduction

Allez les amis, on va voir en 3 minutes comment factoriser une expression. C'est parti! La factorisation est vraiment le réflexe de base en mathématiques. C'est une manière de bien présenter les choses. Comment on va s'y prendre?

Principe de la factorisation

Globalement, on peut factoriser quand on a deux expressions avec des fois. Ce qui fait l'unité d'une expression en mathématiques, ce qui fait qu'on parle d'un seul morceau, c'est que c'est un ressort qui est séparé par des fois. Donc, vous voyez que tout se bloque là dès que des fois tout se bloque là et que des fois donc on a deux blocs qui sont reliés entre eux par un signe plus ou moins. Comment est-ce qu'on factorise? On va trouver les points communs entre ces deux blocs et on va dire ce point commun est dans le premier bloc et dans le deuxième bloc. Du coup, je peux le mettre avant les deux blocs. Ici, il y a un point commun qui est évident, ce point commun c'est le 2. Donc, si je factorise cette expression, je veux dire qu'elle est égale à une autre expression où j'aurai un facteur avant une parenthèse, le signe que je retrouve là et ensuite chacun de ces blocs, celui-là et celui-là, qui seront ici et ici, sauf que j'aurais enlevé le 2. Pourquoi? Parce que le 2 est devant la parenthèse.

Exemple de factorisation

Prenons le premier bloc, si j'enlève le deux, il reste juste \(x^2\). Et le deuxième bloc, si j'enlève le deux, il reste \(6x\). Vous vous doutez bien que si je laissais autant d'espace, c'est que ce n'est pas aussi simple que ça. Pourquoi? Parce que dans les maths, on nous demande de factoriser autant que possible l'expression suivante. Donc, autant que possible, il faut continuer à factoriser. Regardons ça, ici et là, qu'est-ce que j'ai comme autre point commun? J'ai clairement du \(x\) et du \(y\). J'ai du 12 et du 6. 12 et 6 ce n'est pas exactement la même chose, mais c'est quelque chose de commun entre eux. Donc, ce qu'on va faire, c'est qu'on va refaire le tout et on va écrire les choses en enlevant les carrés et en cassant un peu le nombre de fois pour qu'on se rende compte de ce qui se passe. Donc, deux fois \(x^2\) devient deux fois \(x \cdot x\), et \(6x\) devient \(2 \cdot 3 \cdot x\). Je repars à la chasse aux points communs. Qu'est-ce qu'on a comme point commun? On a un \(x\) qui pourrait très bien aller avec celui-ci, on a un \(y\) là qui pourrait très bien aller avec un de ces deux là, par exemple celui-là, et on a enfin un 6. Donc, ce qu'on va faire, c'est qu'on va laisser le deux et on va reprendre chacun des points communs en les mettant devant. Je commence par \(x\), ensuite je vais les \(y\), et ensuite je vais le 6. Maintenant, j'ai mes points communs comme d'habitude, j'ouvre une parenthèse, je sais que le signe entre les deux c'est toujours le même et je vais remuer ces expressions là sauf que j'aurais enlevé les points communs. Pour finir, je vérifie bien qu'il n'y a plus de points communs entre les deux. Si c'est le cas, ma factorisation est bonne. J'ai donc remplacé cette longue expression par celle-ci qui est beaucoup plus courte et beaucoup plus intéressante à travailler. Retenez bien que la forme factorisée est toujours, quasiment toujours, beaucoup plus forte que la forme développée. Donc, vous allez beaucoup plus travailler sur des problèmes d'aller d'une forme factorisée vers une forme développée que l'inverse. Entraînez-vous, c'est vraiment important. C'est comme de la musculation, si vous maîtrisez bien ça, après tout, les maths ne vous poseront aucun problème.