Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir comment très simplement transformer un intervalle en une équation avec valeur absolue en trois étapes. On s'y met dessus.
Transformation d'un intervalle en inéquation
Pour transformer un intervalle en inéquation, on va commencer dans un premier temps par calculer le milieu entre les deux nombres. Parce que si on a le milieu, on pourra interpréter ces nombres comme une distance par rapport au milieu. Une fois qu'on aura trouvé le milieu, on va calculer la distance entre le milieu et -5 ou la distance entre le milieu et trois, en fonction de ce qui nous intéresse. Et une fois qu'on aura le milieu et la distance, on pourra transformer ça en une équation.
Donc, pour l'intervalle \([-5, 3]\), je représente toujours mes intervalles, ça me permet de savoir ce que je fais. Le milieu entre deux points \(a\) et \(b\) est tout simplement \((-5 + 3) / 2\). Donc je fais la somme et je divise par 2 : \((-5 + 3) / 2\) ça me fait \(-2 / 2\) et \(-2 / 2\) c'est \(-1\). Donc je sais que mon milieu entre -5 et 3 ça va être -1. Donc je peux déjà écrire mon équation comme la distance de \(x\) par rapport au milieu, autrement dit \(|x - (-1)|\).
Maintenant, il faut que je trouve la distance entre -1 et 3 ou la distance entre -1 et -5. Pour calculer cette distance, vous faites tout simplement \(3 - (-1)\) ou \(-1 - (-5)\). \(3 - (-1)\) ça fait 4 et \(-1 - (-5)\) ça fait aussi 4. Donc je sais que la distance ici est 4.
Interprétation de l'intervalle
Maintenant, qu'est-ce qu'on veut ? On veut tous les nombres entre -5 et 3, autrement dit, tous ces nombres dont la distance par rapport à -1 doit être plus petite ou plus grande que 4. Autrement dit, est-ce que je dois mettre à l'extérieur de l'intervalle, c'est-à-dire sur ces deux zones là, ou à l'intérieur de la zone ? Et bien, vu que cette distance est 4 et que moi je veux les nombres compris entre -5 et 3, la distance entre -1 et \(x\) va être plus petite que 4. Donc je me retrouve avec \(|x - (-1)| < 4\).
Pour les intervalles \([-7, -4]\) et \([0, 10]\), on procède de la même manière pour trouver le milieu et la distance. Ensuite, on détermine si on veut garder ou non les bornes de l'intervalle pour savoir si on utilise une inégalité stricte ou non.
Conclusion
C'est un exercice qui n'est pas si compliqué que ça. Je calcule le milieu entre mes deux bornes, je calcule la distance du milieu aux bornes et je mets mon équation avec un plus petit que quand j'ai un intervalle simple et un plus grand que quand j'ai un intervalle double. Ensuite, je me demande tout simplement si je veux garder ou pas mes bornes et c'est ça qui va dire si j'ai un supérieur ou un supérieur strict. On vous a mis des exercices en dessous, entraînez-vous, ça tombe au contrôle, vous serez trop bons.