Calculer des Longueurs dans un Solide

Comment calculer une longueur dans un solide en 3ème ?

[Musique] bonjour dans cette vidéo tu vas apprendre à calculer une longueur dans un solide l'idée est quand tu travailles dans un solide donc quand tu travailles en 3 dimension d'essayer d'extraire de ce solide en 3D une figure dans le plan pour te ramener en 2D pour te ramener en deux dimensions et d'utiliser ensuite les outils que tu connais dans le plan pour résoudre ton problème c'est ce qu'on nous propose ici ici tu as donc une sphère de centre haut et de rayon \( 5 \text{ cm} \) cette sphère est coupée par un plan donc on imagine he comme une orange et puis tu tu coupe ici tout le le haut de ton orange par un coup de couteau qui peut être assimilé donc au plan représenté ici en bleu on obtient ainsi un cercle de centre \( A \) oui parce que si tu imagines que quand tu coupes ton orange tu regardes ce qui a été coupé au-dessus et bien tu verras la le plan de coupe ici et bien cela sera représenté par un cercle ou un disque disons on obtient un cercle de centre \( A \) et on voudrait et bien calculer le rayon de ce cercle dans le cas où \( OA \) est égal à \( 3 \text{ cm} \) c'estàdire dans le cas où et bien j'ai quand quand j'ai coupé quand j'ai amené mon couteau je me trouvais à \( 3 \text{ cm} \) de hauteur si on peut dire par rapport au centre de mon orange par rapport au centre de cette sphère

Comment calculer la section d'une sphère par un plan en 3ème ?

alors la technique ici est d'arriver à extraire de cette figure complexe une figure dans le plan pour pouvoir faire une démonstration dans le plan alors comment y arriver et bien il faut voir de quoi on dispose là-dedans bon j'ai déjà \( OA \) alors vu que j'ai déjà \( OA \) \( OA \) est clairement donné c'est sûr que la figure que je vais extraire de ce dessin en 3D va faire intervenir \( OA \) donc mon plan va passer par \( OA \) ça c'est clair j'en auraai besoin ensuite ensuite et bien on parle ici du rayon du cercle bien si on parle du rayon du cercle il faudrait quand même là aussi faire intervenir le rayon du cercle dans le dessin que je ferai dans le plan bien les choses commencent un petit peu à à se figer je vais brouillonner donc j'ai ici donc \( OA \) et puis on le voit là-haut j'ai le le rayon ici de mon cercle celui-ci j'en aurais besoin aussi puisque c'est ce que je voudrais calculer bien tout est dit il faudrait donc faire intervenir ces deux côtés donc même carrément ce triangle le point \( B \) ici est nommé donc il faudrait en fait réaliser dans le plan le triangle \( OAB \) et bien allons-y on va faire une figure propre où on va construire le triangle \( OAB \) alors pas nécessairement en vraie grandeur mais faut quand même que la figure soit propre pour qu'on puisse raisonner préparons ce triangle voilà donc notre triangle notre triangle donc \( OAB \) triangle \( OAB \) donc résultat ici de la coupe par le plan qui est représenté au-dessus en bleu qui nous fait apparaître un triangle rectangle rectangle en \( A \) tel qu'on a \( OA \) qui fait \( 3 \text{ cm} \) ça c'est donné \( AB \) et bien \( AB \) on le voit au-dessus c'est le rayon de notre cercle obtenu par cette coupe et l'idéal et bien serait de récupérer encore une troisième longueur puisque ceci bien ça nous fait penser au théorème de Pythagore où je cherche une longueur connaissant les deux autres est-ce que par hasard cette longueur est connue et bien cette longueur si on s'en réfère à notre énoncé elle est connue ici car on te dit que la sphère a pour rayon \( 5 \text{ cm} \) or \( OB \) ici on le voit juste au-dessus correspond au rayon de la sphère là je suis au centre de la sphère là je suis au bord de la sphère autrement dit ceci est bien un rayon de la sphère donc là je peux encore noter \( 5 \text{ cm} \)

Comment utiliser le théorème de Pythagore pour calculer un rayon en 3ème ?

à partir de là et bien maintenant on va quitter le solide en 3D pour résoudre simplement un problème dans le plan ça on sait faire et bien notre triangle \( OAB \) est rectangle on applique le théorème de Pythagore qui te dit que et bien le carré de l'hypoténuse est égal au la somme des Carr des deux autres côtés donc le carré de l'hypoténuse bien c'est \( OB^2 \) qui est égal donc à \( OA^2 \) plus \( AB^2 \)

ça c'est la formule de Pythagore bien pour le reste remplace alors \( OB^2 \) c'est donc \( 5^2 \) qui est égal à \( OA^2 \) soit \( 3^2 \) plus \( AB^2 \) bien c'est justement notre rayon que l'on cherche donc plus \( r^2 \) alors on peut calculer un petit peu \( 5^2 \) bien ça fait \( 25 \) \( 3 \) ça fait \( 9 \) plus notre rayon \( r^2 \) alors bien dans ce CASL qu'est-ce que je dois rajouter à \( 9 \) pour trouver \( 25 \) \( 25 - 9 \) \( 25 - 9 \) bien ça fait \( 16 \) si \( r^2 \) est égal à \( 16 \) on peut en déduire que \( r \) est égal à \( 4 \) on a donc trouvé le rayon de notre cercle le rayon est de \( 4 \text{ cm} \) voici et on en a fini avec cette séquence