📖 Fiche résumée

Introduction aux Nombres Complexes : Un Nouveau Monde Mathématique

Les nombres complexes représentent une extension fascinante et puissante de l'ensemble des nombres réels que vous avez manipulés jusqu'à présent. Introduits pour résoudre des équations qui n'avaient pas de solution dans ℝ, comme la célèbre équation x² + 1 = 0, ils ont ouvert des portes vers de nouvelles théories mathématiques et sont devenus un outil indispensable en physique (mécanique quantique, électromagnétisme), en ingénierie (traitement du signal, automatique) et dans bien d'autres domaines scientifiques. Cette fiche de révision, destinée aux élèves de Terminale en spécialité Maths Expertes, se concentre sur le premier pilier de ce chapitre : la forme algébrique des nombres complexes. Nous aborderons ici les définitions fondatrices, les opérations de base et les premières techniques de résolution d'équations. Il s'agit d'une synthèse conçue pour structurer vos connaissances, mais elle ne remplace pas l'étude approfondie que propose notre fiche de cours complète, qui détaille chaque point avec des exemples et des astuces méthodologiques.

Le Fondement : L'Unité Imaginaire 𝑖

Définition et Propriété Fondamentale

Le point de départ de l'univers des nombres complexes est la création d'un nombre, noté 𝑖, dont le carré est égal à -1. C'est l'unité imaginaire.

• Définition : On définit le nombre imaginaire 𝑖 tel que 𝑖² = -1.

Cette simple définition résout une impossibilité dans l'ensemble des nombres réels, où le carré d'un nombre est toujours positif ou nul. Grâce à 𝑖, des nombres comme √-4 deviennent calculables : √-4 = √ (4 × -1) = √4 × √-1 = 2𝑖. Cette nouvelle entité est la brique élémentaire qui nous permet de construire un ensemble plus vaste de nombres.

La Forme Algébrique d'un Nombre Complexe

Structure et Vocabulaire

Tout nombre complexe, noté z, peut s'écrire de manière unique sous une forme appelée forme algébrique. C'est la représentation la plus fondamentale et la plus intuitive.

• Forme algébrique : z = a + i b

Dans cette écriture :

• a est un nombre réel appelé la partie réelle de z, notée Re(z).
• b est un nombre réel appelé la partie imaginaire de z, notée Im(z).

Attention : La partie imaginaire b est un nombre réel. C'est le coefficient qui multiplie 𝑖.

Exemples :

• Si z = 3 + 4i, alors Re(z) = 3 et Im(z) = 4.
• Si z = -5i, il s'agit d'un imaginaire pur. Sa partie réelle est nulle : Re(z) = 0 et Im(z) = -5.
• Si z = 7, il s'agit d'un nombre réel. Sa partie imaginaire est nulle : Re(z) = 7 et Im(z) = 0. Cela montre que l'ensemble des nombres réels (ℝ) est inclus dans l'ensemble des nombres complexes (ℂ).

Le Conjugué : Un Outil Puissant et Incontournable

À chaque nombre complexe z est associé un autre nombre complexe, appelé son conjugué, noté z̅. Cet outil est essentiel pour de nombreuses opérations, en particulier la division.

Définition et Propriétés Clés

Le conjugué de z = a + ib est obtenu en changeant simplement le signe de sa partie imaginaire.

• Définition du conjugué : Si z = a + ib, alors z̅ = a - ib.

Le conjugué possède des propriétés remarquables qui simplifient de nombreux calculs :

• Somme : z + z̅ = (a + ib) + (a - ib) = 2a = 2Re(z). La somme d'un nombre complexe et de son conjugué est toujours un nombre réel.
• Différence : z - z̅ = (a + ib) - (a - ib) = 2ib = 2iIm(z). Leur différence est toujours un imaginaire pur.
• Produit : z × z̅ = (a + ib)(a - ib) = a² - (ib)² = a² - (i²b²) = a² - (-1)b² = a² + b². C'est la propriété la plus importante. Le produit d'un nombre complexe par son conjugué est un nombre réel positif. Ce nombre est également le carré du module de z, une notion que vous verrez en détail dans la partie géométrique.

Cette dernière propriété est la clé pour rendre réel un dénominateur complexe, ce qui est la méthode standard pour effectuer une division.

Maîtriser les Opérations sur les Nombres Complexes

Les opérations de base (addition, multiplication, division) s'étendent naturellement aux nombres complexes en respectant les règles de calcul algébrique et la propriété 𝑖² = -1.

Addition et Soustraction

L'addition et la soustraction se font en combinant les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles. C'est analogue à l'addition de vecteurs.

• Formule : (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)

Multiplication

La multiplication s'effectue en utilisant la double distributivité, comme pour des expressions algébriques classiques.

• Formule : (a + ib)(c + id) = ac + i(ad) + i(bc) + i²(bd) = (ac - bd) + i(ad + bc)

Il n'est pas nécessaire de mémoriser cette formule par cœur. Il suffit de savoir la retrouver en développant l'expression et en remplaçant systématiquement 𝑖² par -1.

Division

La division est l'opération la plus technique. Pour calculer z₁ / z₂, l'astuce consiste à éliminer la partie imaginaire du dénominateur. Pour cela, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

• Méthode : Pour calculer (a + ib) / (c + id), on effectue :
  [(a + ib) × (c - id)] / [(c + id) × (c - id)]
  Le dénominateur devient alors c² + d², un nombre réel, ce qui simplifie grandement l'expression finale. Le numérateur est ensuite développé comme un produit classique.

Puissances

Le calcul des puissances se fait par multiplications successives. Pour de petites puissances comme le carré, on utilise les identités remarquables.

• Exemple (carré) : (a + ib)² = a² + 2(a)(ib) + (ib)² = a² + 2abi - b² = (a² - b²) + i(2ab)

Pour des puissances plus élevées, la forme algébrique peut devenir très laborieuse. Les formes trigonométrique et exponentielle, que vous étudierez par la suite, se révéleront bien plus efficaces.

Résoudre des Équations dans l'Ensemble ℂ

L'un des objectifs principaux de ce chapitre est de vous apprendre à résoudre différents types d'équations dans l'ensemble des nombres complexes.

Type 1 : Équation du premier degré en z

Ce sont les équations de la forme az + b = cz + d, où les coefficients peuvent être complexes. La méthode est la même que dans ℝ : on isole l'inconnue z.

Exemple : Pour résoudre (3i - 2)z = -7, on divise simplement par (3i - 2). On obtient z = -7 / (3i - 2). La dernière étape consiste à écrire cette solution sous forme algébrique en utilisant la technique de la division (multiplication par le conjugué).

Type 2 : Équation avec z et z̅

Lorsque l'équation contient à la fois z et son conjugué z̅, on ne peut plus isoler z directement. La méthode systématique est de poser z = a + ib.

En remplaçant z par a + ib et z̅ par a - ib, on transforme l'équation complexe en une équation avec deux inconnues réelles, a et b. On regroupe ensuite tous les termes sans 𝑖 (la partie réelle) et tous les termes avec 𝑖 (la partie imaginaire). Par unicité de la forme algébrique, la partie réelle de l'équation doit être nulle et la partie imaginaire aussi. Cela nous donne un système de deux équations à deux inconnues (a et b) à résoudre.

Type 3 : Équation du second degré à coefficients réels

Il s'agit des équations de la forme az² + bz + c = 0, où a, b, c sont des réels.

On calcule le discriminant Δ = b² - 4ac. La grande nouveauté de la Terminale est le cas où Δ < 0.

• Si Δ < 0, l'équation n'a pas de solution réelle, mais elle admet deux solutions complexes conjuguées.
• Puisque Δ est négatif, -Δ est positif. On peut donc écrire Δ = -1 × (-Δ) = i² × (√-Δ)² = (i√-Δ)².
• Les solutions sont alors données par les formules :
  z₁ = (-b - i√-Δ) / 2a et z₂ = (-b + i√-Δ) / 2a.

Type 4 : Équation du second degré à coefficients complexes

Lorsque les coefficients a, b, ou c sont eux-mêmes des nombres complexes, la situation se corse. La formule du discriminant reste valable, mais Δ sera un nombre complexe. Trouver les "racines carrées" d'un nombre complexe Δ est une procédure plus avancée. Dans le cadre du programme de Terminale, ces équations sont souvent accompagnées d'une question préliminaire pour vous guider ou sont construites de manière à ce que Δ soit simple (par exemple, un imaginaire pur ou le carré d'un complexe facile à identifier).

Cette exploration de la forme algébrique est votre premier pas dans le monde des nombres complexes. La maîtrise de ces calculs est fondamentale pour aborder sereinement les aspects géométriques et les formes trigonométrique et exponentielle. Pour une vision complète, avec des exemples résolus pas à pas pour chaque type d'équation et des exercices d'application, nous vous invitons à consulter la fiche de cours et d'exercices complète disponible sur Galilee.ac. C'est le support idéal pour solidifier vos bases et viser l'excellence.