1. A quoi çà sert les nombres complexes

Introduction aux nombres complexes

Allez, les amis, on est parti pour commencer les nombres complexes, le programme de mathématiques expertes de terminale. On va commencer en se posant la question suivante : à quoi ça peut bien servir un nombre complexe ? Il faut savoir que moi, je suis physicien à la base, donc je ne peux pas vous parler des nombres complexes uniquement en termes de mathématiques. Je sais que ça a été utilisé notamment pour résoudre des équations de degré 3, que ça a été utilisé pour ceci, pour cela, mais ce n'est pas du tout ça qui m'intéresse dans les nombres complexes.

Applications des nombres complexes en physique

Ce qui m'intéresse, c'est de vous dire que les nombres complexes, on s'en sert en physique, et on s'en sert quand on veut faire de l'optique, parce que l'optique est ondulatoire, de la mécanique, parce qu'en mécanique on a des vibrations, de l'électricité, parce qu'en électricité on a des ondes. Enfin bref, tous les domaines de la physique qui nécessitent des ondes, on va les traiter en utilisant des nombres complexes. Pourquoi y a-t-il un rapport entre les ondes et les nombres complexes ? Parce qu'en fait, vous allez voir qu'avec les nombres complexes, on va faire apparaître des cosinus, et que les fonctions cosinus, par exemple \(\cos(x)\), vous savez que cette fonction est périodique. Autrement dit, elle revient donc si à la place de mon \(x\), j'arrive à exprimer quelque chose avec du temps, je me retrouve avec une fonction qui est périodique.

Utilisation des nombres complexes en dérivation et intégration

Une autre application des nombres complexes, c'est tout simplement les opérations de dérivation et d'intégration. Vous allez voir, si vous faites une prépa ou en école d'ingénieur, que les opérations de primitivation et les opérations de dérivée, on peut les réaliser très simplement avec les nombres complexes, en multipliant ou en divisant par \(i\). Parce que vous savez qu'en ce qui concerne le sinus et le cosinus, primitiver ou dériver, ça revient la plupart du temps à tourner le long du cercle trigonométrique. Donc ça revient à faire évoluer l'angle qu'il y a à la place de notre \(t\). On va faire ça en deux parties. La première partie, qui est ce chapitre-là, c'est le point de vue algébrique. Donc on va apprendre à traiter les nombres complexes comme des nombres. Deuxièmement, on va voir le point qui est le plus intéressant, c'est le point de vue géométrique. Autrement dit, pourquoi un nombre complexe n'est rien d'autre qu'un vecteur. Les nombres complexes, ce n'est pas si complexe. J'ai réfléchi en 3 minutes avant la vidéo, on se fait ça tout de suite. À vous de jouer, vous êtes des champions.