11. Calculer aire agrandissement réduction

Introduction

Allez, c'est parti pour un petit peu de maths, un peu de transformation en géométrie. On a ça souvent donc c'est pas mal de le savoir, surtout en 3ème. Donc là, j'ai un énoncé sur la figure, on va voir la figure juste après, ne vous inquiétez pas. On a une figure qui subit une transformation par homothétie et on nous demande de calculer le rapport \(k\) et de calculer l'aire de la figure agrandie ou réduite.

Comprendre l'énoncé

Alors là, vous allez voir que je n'ai pas été gentil parce que je n'ai pas fait un énoncé où on me guide un petit peu, c'est à moi de chercher un petit peu. Pourquoi ? Parce que j'ai deux figures. Alors on peut les nommer par exemple, je vais prendre juste une petite couleur de stylo, par exemple ça c'est ma figure 1, ça c'est ma figure 2. On me dit qu'il y a une transformation par homothétie donc là il y a bien un centre. Et je vais avoir une histoire de \(k\). Allez chercher, vous vous rappelez, c'est quoi le \(k\) ? C'est le rapport, c'est le ratio par exemple d'une longueur sur une autre, c'est toujours sur les longueurs, jamais sur les surfaces, et ce sera toujours sur les longueurs. Donc ça, normalement, si vous avez bien suivi les triangles semblables, c'est un petit peu le même calcul. Donc normalement, il n'y aura pas trop de problème.

Calculer le rapport \(k\) et l'aire de la figure

Donc déjà, la première question, on me demande de calculer le rapport \(k\). La question, c'est est-ce que j'ai agrandi ou réduit déjà ? Parce que la question d'après, c'est calculer l'aire de la figure agrandie ou réduite. On nous a pas aidé, on nous a pas dit est-ce que c'était celle qui était réduite ou agrandie. Donc il y en a une qui était agrandie, c'est celle en bleu, et celle qui est réduite, c'est celle en beige, en crème, couleur que vous voulez. Donc nous, on voit que l'aire nous a été donnée sur la plus grande. Donc ce qu'on aura à calculer, ça va être en fait l'aire de la figure réduite. Donc là, il faut se dire que celle qui a été transformée, c'est la figure 1. Donc vous inquiétez pas, généralement les énoncés vont être un peu plus sympa, là j'ai fait un énoncé un petit peu difficile. Donc en fait, c'est surtout pour vous reformuler un énoncé, c'est la figure 1 a subi une transformation par homothétie pour donner la figure 2. Trouver le facteur \(k\). Donc là, je cherche le facteur \(k\). Pour cela, c'est cette figure 1, on va plutôt donner des lettres plutôt que figure 1 et 2. \(AB'C'\) sur \(ABC\). Donc on a dit qu'il y a une réduction de \(ABC\) vers \(A'B'C'\). Elle a été réduite. Donc maintenant, on veut savoir le facteur \(k\). Comment on fait ? Est-ce qu'on fait les longueurs ? Là, j'ai des longueurs, j'ai \(A'B'\) qui fait 2 cm et \(AB\) qui fait 4 cm. Est-ce que je fais \(2/4\) ou \(4/2\) ? En fait, on va toujours partir de celle qui a été transformée donc \(A'B'\) sur celle initiale \(AB\). Ok, retenez ça, c'est toujours le transformé sur l'initial. Ok, ce que j'avais à la base. Donc ça nous fait quoi, ça nous fait \(2/4\). Ok, vous pouvez dire \(1/2\) ou \(0,5\), ce sont les deux réponses qui sont admises. Super, maintenant qu'on a ça, on a répondu à la question 1. Ça, c'était la question 1. Si vous voulez, question 2, mais maintenant qu'on a l'aire de \(ABC\), on veut l'aire de \(A'B'C'\). Et là, l'erreur à ne pas faire, c'est prendre l'aire \(ABC\) et la multiplier par le facteur \(k = 0,5\). Non, non, non, en fait, c'est l'aire, les aires, c'est toujours fois le \(k\) (le rapport) au carré. Donc le rapport, c'est \(k\), moi dans mon cas, ça peut être \(f\) ou autre chose, ok ? Donc il faut le mettre au carré. Donc c'est \(24 \times 0,5^2\). Moi, je sais que c'est \(1/2^2\), donc c'est \(1/4\), donc c'est \(0,25\). Donc ça fait \(24/4\), donc ça vous pouvez le faire à la calculatrice, moi j'essaie de le faire au calcul. Donc \(24/4\), ça me fait normalement 6. Donc l'aire de la figure \(A'B'C'\) est donc de 6 cm². Donc si je reprends sur une feuille blanche là, parce que j'ai plus de place, si je parle de l'aire \(A'B'C'\), finalement c'est l'aire de \(ABC\) fois \(k\) au carré. Ok, donc c'est \(24 \times (1/2)^2\). Comme je suis bon en calcul avec les fractions, ça fait \(1/4\) et \(1/4\), c'est \(24/4\) et \(24/4\), c'est tout simplement 6. Et j'ai quoi, j'ai des cm², donc c'est des cm². Et voilà, bingo. Donc vous voyez, en fait ici, si je divise par 2 les longueurs, en fait ça va diviser par 4 les aires. Ça marche, ok ? On est sur des aires carrées. On aurait pu faire la même chose avec les volumes, mais généralement en 3ème, on ne va pas trop sur les volumes. Mais pour les volumes, retenez que c'est \(k\) au cube. Et oui, c'est parce qu'on a une dimension en plus. Allez, je pense qu'on a fait le tour sur la question. Entraînez-vous sur les exercices sur le côté ou sur le dessous sur galiléo.ac. On se revoit sur une autre vidéo. Ciao.