2. Périmètre d'un cercle

Introduction

Allez les amis, on est parti pour une compétence particulièrement difficile : comment est-ce qu'on va déterminer le périmètre, c'est-à-dire le tour, de toutes les formes géométriques que sont le cercle, le carré, le rectangle et le triangle ? Vous allez voir, c'est d'une facilité déconcertante. On se fait ça tout de suite.

Calcul du périmètre d'un carré

Une première option, quand on voit un carré et qu'on se dit "je veux calculer le périmètre", c'est-à-dire la distance qu'il me faut pour faire l'intégralité du tour, c'est de dire "bon, je vais à la plage, je dessine un carré de la même taille, donc par exemple je fais un carré de 3 m et je mesure avec une petite règle le nombre de mètres qu'il me faut pour faire le tour du carré". Extrêmement efficace, problème, si le carré fait 3 km, il n'y a pas de plage assez grande pour accueillir un tel carré. Comment est-ce qu'on va faire avec un esprit mathématicien ? Mon esprit mathématicien me dit "bon, si je veux mesurer tout le tour, il y a au moins un bout que je n'ai pas besoin de mesurer vu que l'énoncé me le donne. L'énoncé me dit : ce côté-là fait 3 m. Oui, mais les gars, c'est un carré, un carré, tous les côtés sont égaux. Ça veut dire que ce côté-là fait 3 m aussi, ce côté-là fait 3 m aussi et ce côté-là fait 3 m aussi. Donc, si je me mets à mesurer tout le tour, en fait, j'ai mesuré ce côté auquel j'ai additionné ce côté, auquel j'ai additionné ce côté et le côté du bas. Donc \(3 + 3 + 3 + 3\), \(3 + 3 = 6\), \(6 + 6 = 12\), donc le périmètre est 12. Mais est-ce qu'il n'y aurait pas une formule plus simple dans le cas où ça ne mesure pas 3 mais ça mesure \(C\) ? On voit que des côtés, il y en a un ici, un là, un là, un là. On a fait \(3 + 3 + 3 + 3\), donc en fait ce qu'on a fait, c'est \(4\) fois le côté. Donc le périmètre d'un carré, qui a quatre fois le même côté, c'est quatre fois ce côté. On vient d'apprendre ce qui est peut-être une des formules les plus à la fois simples et belles des mathématiques : le périmètre d'un carré, c'est quatre fois le côté.

Calcul du périmètre d'un cercle

Que se passe-t-il, complication, dans le cas d'un cercle et double complication dans le cas d'un cercle où on ne vous a pas donné le rayon mais on vous a donné le diamètre ? On a une super formule, en fait une des formules qui est les plus belles des mathématiques, qui est de dire que le périmètre d'un cercle, c'est deux fois \(\pi\) fois son rayon. Donc le périmètre, c'est \(2 \times \pi \times r\). On remarquera que l'aire d'un cercle, c'est \(\pi \times r^2\), donc on retrouve les mêmes lettres, un \(\pi\) et un rayon, sauf que là il y a \(\pi r^2\), là il y a \(2 \times \pi \times R\). Donc le périmètre, c'est-à-dire le tour du cercle, c'est \(2 \times \pi \times R\). \(\pi\) c'est un nombre magique qui nous permet de relier le rayon d'un cercle à son périmètre. Problème, que se passe-t-il quand on ne vous a pas donné le rayon mais qu'on vous a donné le diamètre ? Pour rappel, le rayon, c'est littéralement comme le rayon de la roue de votre bicyclette, c'est la longueur qui part du centre et qui va jusqu'au cercle. Le diamètre, c'est la plus grande distance qu'on puisse tracer dans un cercle, c'est-à-dire cette longueur là. Vous utilisez votre sens logique, vous dites "mais attends, ce rayon là, est-ce que ça ne serait pas finalement la moitié du diamètre ?". Du coup, si le diamètre vaut 4, le rayon vaut 2. Du coup, mon périmètre, ça va être \(2 \times \pi \times 2\), \(2 \times 2 = 4\), \(4 \times \pi\). Or \(\pi\) est à peu près égal à 3,14, donc c'est à peu près égal à \(4 \times 3,14\), donc \(4 \times 3 = 12\), \(4 \times 0,14 = 0,56\), donc le périmètre est environ 12,56. On retient cette belle formule : le périmètre, c'est \(2 \times \pi \times R\). Et regardez, un autre truc, bon, vu qu'on en est là, je vous le dis, parce que sinon on va quand même s'ennuyer. Notre \(2 \times R\), en fait, deux fois cette longueur, c'est le diamètre. Donc une autre manière de se souvenir de cette formule, c'est que c'est \(\pi\) fois le diamètre.

Calcul du périmètre d'un rectangle

Troisième cas, extrêmement compliqué, le cas du rectangle. Vous cherchez à faire la mesure du tour complet, sachant que cette longueur fait 3, qu'on est dans un rectangle, donc la longueur opposée a la même longueur, donc là j'ai un 3 aussi, là j'ai un 2. Vous faites ce côté plus ce côté plus ce côté plus ce côté, donc \(2 + 3 + 2 + 3\), \(2 + 3 = 5\), \(5 + 5 = 10\), c'est aussi simple que ça. Si jamais vous préférez apprendre une formule, donc on a deux côtés différents, la formule générale, une fois qu'on a la valeur d'un côté et la valeur de l'autre côté, ça va être tout simplement deux fois le petit côté plus deux fois le grand côté, j'ai mon périmètre, c'est terminé.

Calcul du périmètre d'un triangle

Troisième cas, qui est peut-être le cas qui va un peu vous perturber, c'est le cas du triangle. Pour un triangle, exactement de la même manière que pour un cercle et de la même manière que pour un rectangle, pour un carré, le périmètre, c'est la mesure du tour de la figure. Donc la mesure du tour, c'est ce côté, 3, plus ce côté, 4, plus ce côté-là. Et là, vous vous dites "bon, j'aurais bien aimé qu'il m'écrive par exemple 5 ici, mais je n'ai rien écrit". Pourquoi ? Parce que moi, je pense que, sachant qu'il y a un angle droit ici, vous êtes capable de trouver la longueur de ce côté en utilisant le plus fameux, le plus classique, le plus important et le plus connu de tous les théorèmes de géométrie, qui est le théorème de Pythagore. Nous avons un triangle rectangle, nous savons que le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Je vous propose de terminer cette vidéo en vous laissant faire ce somptueux exercice. À vous de jouer, vous êtes des champions. Attention, il y a plein d'exercices à faire aussi.