5. Triangle rectangle - Trigonométrie - calculer longueur

Introduction

On se retrouve toujours pour la trigonométrie dans des triangles, bien sûr. Aujourd'hui, on a un petit triangle rectangle. C'est toujours rectangle si on veut faire la trigonométrie. On nous donne la longueur \(AC\) qui vaut 5 cm, un angle \(ABC\) qui vaut 30° et on nous demande quelle est la longueur de \(BC\). Comment va-t-on réussir à faire ça ? Grâce au rapport trigonométrique qu'on a commencé à voir déjà dans une vidéo précédente.

Rappel des notions de trigonométrie

Je vous rappelle qu'on a un petit rappel. Donc déjà, c'est quoi le côté opposé, le côté adjacent, l'hypoténuse ? L'hypoténuse est toujours opposée à l'angle droit, donc c'est toujours la plus grande longueur aussi dans le triangle. L'angle opposé dépend de quel angle on parle, mais si on parle de l'angle \(BAC\) ici, c'est la longueur \(BC\). Si c'est celui-là, forcément \(AC\) reste le côté adjacent. On avait les relations suivantes : \(\sin(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\), \(\cos(\theta) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\) et \(\tan(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\).

Application des notions de trigonométrie

Alors nous, on va se remettre un petit peu le triangle qu'on nous a donné, c'est un triangle \(ABC\) comme ceci. L'angle droit est sur \(A\) et on cherche en fait l'hypoténuse, c'est celui-là donc c'est \(BC\). On le connaît pas, on connaît par contre l'opposé qui est égal à 5 cm et celui-là on connaît pas mais on va voir qu'on s'en fiche un petit peu. L'adjacent et cet angle là on le connaît, c'est 30° donc c'est \(\theta\) que j'ai appelé généralement dans mes formules à moi. Donc réfléchissons, on a l'opposé et l'hypoténuse, on a l'angle \(\theta\). Si on regarde un petit peu dans nos formules, l'opposé sur hypoténuse de toute façon on n'a pas 36 solutions, c'est le sinus. Donc on va partir sur cette relation là : \(\sin(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\). Nous, l'opposé ici c'est la longueur \(AC\) et l'hypoténuse c'est \(BC\). Donc, \(\sin(30°) = \frac{AC}{BC}\). On fait une application numérique, donc \(\sin(30°) = \frac{5}{BC}\). On va essayer d'isoler \(BC\). On peut faire le produit en croix, donc c'est tout simplement \(BC = \frac{5}{\sin(30°)}\). On va calculer ça avec une calculatrice. On obtient \(BC = 10\) cm. Donc on a trouvé grâce aux relations trigonométriques une longueur avec un angle et une autre longueur. On arrive à trouver une deuxième longueur grâce aux relations trigonométriques. Attention, il faut que ça soit dans un triangle rectangle. Allez, faites les exercices. Là, on a utilisé le sinus, dans d'autres exercices vous allez devoir utiliser le cosinus, d'autres la tangente ou des fois on peut en utiliser peut-être deux. Donc à vous de vous entraîner là-dessus, à vous amuser. Moi, je vous dis à bientôt pour d'autres exercices sur les relations trigonométriques.