6. Triangle rectangle - Trigonométrie - calculer angle

Introduction

On repart encore sur la trigonométrie, toujours sur ces petits triangles rectangles. Nous avons un triangle ABC avec un angle droit en A. On a 6,4 cm sur BC et 4,2 sur AB. On nous demande la mesure de l'angle BCA, que l'on doit arrondir au degré près si on a des arrondis dans le calcul.

Identification des côtés du triangle

On se rappelle comment on retrouve l'hypoténuse, l'adjacent et le côté opposé. Cela va toujours dépendre de où est placé l'angle que l'on recherche. Dans notre exercice, on a un triangle ABC avec l'angle droit en A, l'angle que l'on cherche en C et l'hypoténuse BC de 6,4 cm. Le côté opposé à l'angle que l'on cherche est AB de 4,2 cm. On se rappelle aussi des relations trigonométriques : - Le sinus de l'angle est égal à l'opposé sur l'hypoténuse (\(\sin(\theta) = \frac{opposé}{hypoténuse}\)) - Le cosinus de l'angle est égal à l'adjacent sur l'hypoténuse (\(\cos(\theta) = \frac{adjacent}{hypoténuse}\)) - La tangente de l'angle est égal à l'opposé sur l'adjacent (\(\tan(\theta) = \frac{opposé}{adjacent}\))

Calcul de l'angle

Dans notre cas, on connaît l'opposé et l'hypoténuse de l'angle que l'on cherche. On regarde donc la relation qui utilise ces deux côtés, c'est le sinus. On a donc \(\sin(BCA) = \frac{AB}{BC}\). On remplace par les valeurs connues, on a \(\sin(BCA) = \frac{4,2}{6,4}\). On calcule cette valeur sur la calculatrice, on obtient environ 0,65625. On a donc \(\sin(BCA) = 0,65625\). Mais on nous demande l'angle, pas son sinus. Pour retrouver l'angle à partir de son sinus, on utilise la fonction arcsinus (ou sin^-1). On a donc \(BCA = \arcsin(0,65625)\). On calcule cette valeur sur la calculatrice, on obtient environ 41,01. On arrondit au degré près, on a donc \(BCA \approx 41°\).

Conclusion

Voilà comment on fait pour utiliser les relations trigonométriques et retrouver un angle. C'est ce qui est le plus compliqué au début avec la trigonométrie, quand on cherche un angle, car il y a cette histoire d'arcsinus, arccosinus, etc. Il faut s'entraîner avec tous les cas de figure pour bien maîtriser.