8. Théorème de Thalès - longueur

Introduction

On se retrouve pour parler du théorème de Thalès. Cette fois-ci, nous allons mettre en pratique l'égalité de Thalès et faire des applications numériques. Regardez, on nous propose cette figure. J'ai un peu changé, bien sûr, on n'a plus les droites mais on a quand même des droites, on a des triangles. Donc ça, on a un petit peu bien travaillé ça sur la vidéo d'avant. On nous dit que, sachant que la droite AG est parallèle à EI, calculer la longueur LI.

Application du théorème de Thalès

En terme de théorème, on avait vu ça normalement, c'est acquis pour moi si vous avez bien travaillé sur la vidéo d'avant. Donc quand j'ai cette configuration là, par exemple, je peux écrire le théorème de Thalès suivant, sachant que bien sûr BC est parallèle à DE et on a les points ici alignés, les points ici alignés. Ça nous donne, moi j'ai fait le théorème sur les grandes longueurs sur les petites longueurs, mais ça marche avec les petites longueurs sur longueur. Donc le orange sur le vert si vous voulez en couleur et là j'ai fait le vert sur en orange, ça marche. Il faut juste respecter les parallèles avec les parallèles et celle d'une même droite avec une même droite.

Calcul de la longueur LI

La première chose à faire, ce qu'on a fait sur la vidéo d'avant, c'est écrire l'égalité. Donc moi pareil, je vais faire grande longueur sur longueur. Donc on a l'impression que c'est sur le triangle L ou dans le sens que vous voulez, qui que l'on a pardon, le grand triangle parce que je regarde les deux droites parallèles, ça serait G et EI, on nous le dit dans l'énoncé, et j'ai 4 et 6. Donc je vais faire \( \frac{EI}{AG} \). Ensuite, je peux écrire l'égalité sur toutes les longueurs, mais on verra que en fait il n'y a pas besoin de s'intéresser à toutes les longueurs parce que nous, on cherche la longueur LI. Donc par rapport à LI, normalement c'est dans le triangle LIE, donc c'est lui je vais garder sur la longueur qui est associée donc la longueur associée à LI est-ce que c'est AL, est-ce que c'est GL, est-ce que c'est LE et oui c'est dans la même droite donc c'est AL, c'est le petit côté qui correspond la petite longueur du triangle donc c'est \( \frac{LI}{AL} \). Et le dernier, on peut le mettre et on verra que il n'y a pas vraiment de nécessité donc c'est le donc c'est la la la droite LE là donc avec GL ou LG pareil donc là on a \( \frac{LE}{GL} \). Finalement, qu'est-ce qu'on cherche ? La longueur LI. Donc on pourrait faire une application numérique. Si je fais, j'appelle ça application numérique, on pourrait remplacer toutes les longueurs qu'on connaît par celle qu'on connaît pas par les inconnus. Donc EI finalement c'est 6, AG c'est 4 et LI on ne sait pas ce que c'est donc ça reste une inconnu, on peut appeler ça x. AL c'est 4,8 et GL c'est 3. Donc finalement, si on regarde ça et ça, on ne va pas trop avancer parce que c'est une inconnue, une deuxième inconnue, on a une équation si vous voulez, on va plutôt regarder ça. On a un fameux produit en croix donc finalement c'est \( x = \frac{6}{4} \times 4,8 \). On retrouve finalement le produit en croix, on a bien \( 6 \times 4,8 \) divisé par 4. Donc pour ceux qui préfèrent le produit en croix, on va regarder ça directement sur la petite calculatrice. On a \( 6 \times 4,8 \) divisé par 4, ça fait 7,2. Donc je vais juste reprendre un petit peu de place et je vais mettre tout simplement \( LI = 7,2 \) cm.

Conclusion

Encore une fois, soignez votre rédaction. Entraînez-vous surtout à faire les exercices sur Galilée, il y a des tonnes d'exercices pour vous entraîner à maîtriser à calculer ces histoires de longueur. Donc là on a vu un cas où c'était un peu la configuration papillon, faites-le avec la configuration comme ça où vous avez des droites où on vous aurait donné tout simplement juste des triangles. On n'est pas obligé de vous donner des droites, il faut que pour appliquer le théorème de Thalès, toujours que les conditions soient respectées, qu'il y ait deux droites parallèles avec les deux droites sécantes et cetera. Prochaine compétence, ça sera sur la réciproque donc il faudra montrer que des droites soient parallèles, c'est l'objet de la prochaine vidéo. À bientôt !