9. Théorème de Thalès - Réciproque

Introduction

Aujourd'hui, nous allons aborder un nouveau cas du théorème de Thalès, cette fois-ci la réciproque. Pourquoi la réciproque ? Parce qu'on nous propose l'énoncé suivant : on a une figure qui ressemble à un petit nœud papillon. On connaît bien cette figure, c'est dans ce contexte qu'on peut parler du théorème de Thalès à la condition que les droites extrêmes soient parallèles. Or, dans notre cas, on nous demande justement si ces droites sont parallèles. Pour rappel, pour pouvoir appliquer le théorème de Thalès, il faut que les deux droites soient parallèles. Ici, on ne le sait pas, on nous le demande. On nous donne des longueurs, mais attention, on ne nous donne pas toutes les longueurs. On va donc regarder cette histoire de réciproque.

Réciproque du théorème de Thalès

Retenez bien ceci : quand on vous pose la question "Est-ce que les droites sont parallèles dans cette configuration ?", il faut penser à la réciproque du théorème de Thalès. Avant de parler de la réciproque, je vous rappelle que le théorème de Thalès s'applique quand on a deux droites parallèles et qu'on peut établir certaines relations parce qu'on a un petit triangle dans un grand triangle, c'est-à-dire deux triangles semblables. Dans la réciproque du théorème de Thalès, on a une configuration où on ne sait pas si les droites sont parallèles. Si on arrive à prouver que \(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\), alors forcément, les droites DE et BC sont parallèles. Pour établir cette égalité, il faut calculer séparément \(\frac{AD}{AB}\) et \(\frac{AE}{AC}\), puis comparer les résultats. Si les résultats sont équivalents, alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites DE et BC sont parallèles.

Application de la réciproque du théorème de Thalès

Prenons un exemple. On veut montrer que les droites AG et IE sont parallèles. On va donc utiliser les droites sécantes. On va calculer \(\frac{LI}{AL}\) et \(\frac{LE}{GL}\). Si on trouve que ces deux fractions sont égales, alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites AG et IE sont parallèles. En conclusion, chaque fois que vous avez une figure où le théorème de Thalès peut s'appliquer et qu'on vous demande si deux droites sont parallèles, pensez à la réciproque du théorème de Thalès. Entraînez-vous à faire cette application et à rédiger correctement votre démonstration. Dans la prochaine leçon, nous résoudrons des problèmes utilisant la réciproque du théorème de Thalès.