📖 Fiche résumée

Introduction aux Variables Aléatoires : Le Pont entre Hasard et Calcul

Le chapitre sur les variables aléatoires, étudié en classe de Première dans le cadre de la spécialité mathématiques, constitue une pierre angulaire du programme de probabilités. Il permet de franchir une étape décisive en passant de l'étude d'événements qualitatifs (comme « obtenir pile » ou « tirer une carte rouge ») à une analyse quantitative des phénomènes aléatoires. Une variable aléatoire est un outil mathématique puissant qui associe une valeur numérique à chaque issue possible d'une expérience aléatoire. Cette fiche de révision proposée par Galilee.ac a pour but de synthétiser les concepts, définitions et formules essentiels pour maîtriser ce chapitre. Nous aborderons la définition d'une variable aléatoire, sa loi de probabilité, et ses indicateurs numériques fondamentaux : l'espérance, la variance et l'écart-type.

Définir et Comprendre une Variable Aléatoire

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?

Imaginez que vous lancez un dé à six faces. Les issues possibles sont {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dans ce cas simple, les issues sont déjà des nombres. Mais considérons un jeu de pile ou face où vous gagnez 5 euros si vous obtenez « pile » et perdez 2 euros si vous obtenez « face ». L'univers des issues est {Pile, Face}, qui n'est pas numérique. C'est ici qu'intervient la variable aléatoire.

Une variable aléatoire, souvent notée par une lettre majuscule comme X, est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. Dans notre exemple de jeu, on peut définir une variable aléatoire X qui représente le gain algébrique du joueur :

• Si l'issue est « Pile », X prend la valeur 5.
• Si l'issue est « Face », X prend la valeur -2.

L'ensemble des valeurs que X peut prendre, ici {-2, 5}, est appelé l'ensemble des valeurs de la variable aléatoire, ou son univers image. Grâce à X, nous avons transformé une expérience aux résultats qualitatifs en un modèle numérique que nous pouvons analyser avec des outils mathématiques.

La Loi de Probabilité d'une Variable Aléatoire

Caractériser le comportement du hasard

Définir une variable aléatoire ne suffit pas. Pour l'étudier complètement, nous devons connaître la probabilité associée à chaque valeur qu'elle peut prendre. C'est ce qu'on appelle la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

Établir la loi de probabilité de X consiste à déterminer, pour chaque valeur possible xᵢ, la probabilité de l'événement « X prend la valeur xᵢ », notée P(X = xᵢ). La somme de toutes ces probabilités doit impérativement être égale à 1, car cela couvre toutes les issues possibles de l'expérience.

Présentation sous forme de tableau

La manière la plus claire et la plus courante de présenter une loi de probabilité est d'utiliser un tableau à deux lignes :

• La première ligne liste toutes les valeurs possibles xᵢ de la variable aléatoire X.
• La seconde ligne indique les probabilités correspondantes pᵢ = P(X = xᵢ).

Reprenons notre jeu de pile ou face, en supposant que la pièce est équilibrée (la probabilité d'obtenir « Pile » est de 0,5 et celle d'obtenir « Face » est de 0,5). La loi de probabilité de la variable aléatoire X (le gain) est la suivante :

| xᵢ | -2 | 5 |

|---|---|---|

| P(X = xᵢ) | 0,5 | 0,5 |

On vérifie bien que la somme des probabilités est 0,5 + 0,5 = 1. Ce tableau résume parfaitement le comportement aléatoire de notre variable X.

Indicateurs Numériques : Espérance, Variance et Écart-Type

Une fois la loi de probabilité établie, nous pouvons calculer des indicateurs qui résument les propriétés de la variable aléatoire en quelques chiffres clés. Ces indicateurs nous renseignent sur la « tendance centrale » de la variable et sur la dispersion des valeurs autour de cette tendance.

L'Espérance Mathématique E(X) : La Valeur Moyenne

L'espérance d'une variable aléatoire X, notée E(X), est la moyenne des valeurs prises par X, pondérée par leurs probabilités respectives. C'est la valeur que l'on s'attend à obtenir en moyenne si l'on répète l'expérience un très grand nombre de fois.

La formule de l'espérance est :

E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... + xₙpₙ = Σ xᵢpᵢ

Pour notre exemple de jeu :

E(X) = (-2) × 0,5 + 5 × 0,5 = -1 + 2,5 = 1,5

Interprétation : Si on joue un très grand nombre de fois à ce jeu, on peut s'attendre à gagner en moyenne 1,5 euro par partie. L'espérance est un outil fondamental pour les preneurs de décision, que ce soit dans les jeux de hasard, en finance ou en assurance, car elle permet d'évaluer le gain ou la perte moyenne associée à une situation aléatoire.

Le Concept de Jeu Équitable

Un jeu est dit équitable si son espérance de gain est nulle, c'est-à-dire si E(X) = 0. Dans un tel jeu, le joueur n'est ni avantagé ni désavantagé sur le long terme. Si E(X) > 0, le jeu est favorable au joueur. Si E(X) < 0, il est défavorable au joueur (et donc favorable à l'organisateur du jeu).

La Variance V(X) : Mesurer la Dispersion

L'espérance nous donne une idée du centre de la distribution, mais elle ne dit rien sur la manière dont les valeurs sont réparties autour de ce centre. Sont-elles très concentrées ou très étalées ? C'est le rôle de la variance.

La variance, notée V(X), mesure la moyenne des carrés des écarts à l'espérance. Une variance élevée signifie que les valeurs de X ont tendance à être éloignées de l'espérance, indiquant une grande volatilité ou un risque élevé. Une variance faible indique que les valeurs sont concentrées autour de l'espérance.

La formule de la variance est :

V(X) = p₁(x₁ - E(X))² + p₂(x₂ - E(X))² + ... + pₙ(xₙ - E(X))² = Σ pᵢ(xᵢ - E(X))²

Calculons la variance pour notre jeu :

E(X) = 1,5

V(X) = 0,5 × (-2 - 1,5)² + 0,5 × (5 - 1,5)²

V(X) = 0,5 × (-3,5)² + 0,5 × (3,5)²

V(X) = 0,5 × 12,25 + 0,5 × 12,25 = 12,25

L'Écart-Type σ(X) : Une Mesure de Dispersion Interprétable

La variance est une excellente mesure de dispersion, mais son unité est le carré de l'unité de la variable aléatoire (par exemple, des euros carrés), ce qui la rend difficile à interpréter directement. Pour revenir à l'unité d'origine, on utilise l'écart-type.

L'écart-type, noté σ(X) (sigma), est simplement la racine carrée de la variance :

σ(X) = √V(X)

Pour notre exemple :

σ(X) = √12,25 = 3,5

Interprétation : L'écart-type, ici de 3,5 euros, peut être vu comme l'écart typique ou moyen des gains par rapport au gain moyen (l'espérance). Il quantifie le risque du jeu : plus l'écart-type est grand, plus les résultats des parties individuelles peuvent être loin de la moyenne attendue.

Transformation Affine d'une Variable Aléatoire

Que se passe-t-il si on modifie les règles du jeu ?

Il est fréquent de créer une nouvelle variable aléatoire en transformant une variable existante. La transformation la plus simple est la transformation affine, de la forme Y = aX + b, où a et b sont des constantes réelles.

Par exemple, si un organisateur de jeu décide de doubler tous les gains et pertes (a=2) et d'ajouter une mise de départ fixe de 1 euro que le joueur perd dans tous les cas (b=-1), la nouvelle variable de gain Y serait Y = 2X - 1.

Comment l'espérance et la variance de Y sont-elles liées à celles de X ? Heureusement, il existe des formules simples pour cela.

Propriétés de l'Espérance et de la Variance

Soit Y = aX + b une transformation affine de X. Alors :

• Espérance de Y : E(Y) = E(aX + b) = aE(X) + b
• Variance de Y : V(Y) = V(aX + b) = a²V(X)

Explication intuitive :

• L'espérance est une mesure de tendance centrale. Si on multiplie toutes les valeurs par a et qu'on leur ajoute b, il est logique que la moyenne subisse la même transformation.
• La variance est une mesure de dispersion. Ajouter une constante b à toutes les valeurs décale l'ensemble de la distribution sans changer sa largeur ou son étalement, donc b n'a aucun effet sur la variance. En revanche, multiplier les valeurs par a étire ou contracte les écarts à la moyenne. Comme la variance est basée sur les écarts au carré, l'effet du multiplicateur est a².

Appliquons cela à notre exemple avec Y = 2X - 1 :

E(Y) = 2E(X) - 1 = 2 × 1,5 - 1 = 3 - 1 = 2

V(Y) = 2²V(X) = 4 × 12,25 = 49

Le nouveau jeu a une espérance de gain de 2 euros et un écart-type de √49 = 7 euros, le rendant plus favorable mais aussi plus risqué.

Conclusion : Un Outil Essentiel pour Modéliser l'Aléatoire

La maîtrise des variables aléatoires discrètes est une compétence fondamentale en mathématiques. Elle permet de modéliser, d'analyser et de synthétiser des situations complexes gouvernées par le hasard. En comprenant comment définir une loi de probabilité et comment calculer et interpréter l'espérance, la variance et l'écart-type, vous vous dotez d'outils puissants pour évaluer des risques, prendre des décisions éclairées et poser les bases pour des concepts plus avancés comme la loi binomiale. Cette fiche résumée de Galilee.ac est conçue pour vous accompagner dans votre apprentissage, en structurant les connaissances et en mettant en évidence les formules clés que vous devez absolument connaître.