📖 Fiche résumée

Introduction aux Fonctions de Référence en Seconde

L'étude des fonctions est un pilier du programme de mathématiques au lycée, et la classe de Seconde marque une étape fondamentale avec l'introduction des fonctions de référence. Ces fonctions, par leur simplicité et leurs propriétés caractéristiques, servent de briques élémentaires pour construire et comprendre des fonctions plus complexes par la suite. Maîtriser les fonctions carré, racine carrée, cube et inverse est donc indispensable pour bâtir des bases solides en analyse de fonctions. Cette fiche de cours a pour objectif de synthétiser les connaissances essentielles sur ces quatre fonctions : leur définition, leur représentation graphique, leur sens de variation, et leurs propriétés de parité. Nous aborderons également des concepts transversaux comme l'ensemble de définition et la résolution d'équations ou inéquations graphiques et algébriques associées. L'objectif est de vous fournir une compréhension claire et structurée de chaque fonction afin de vous préparer efficacement aux évaluations et à la poursuite de vos études en mathématiques.

La Fonction Carré : 𝒇(𝒙) = 𝒙²

Définition et Ensemble de Définition

La fonction carré est la fonction f qui, à tout nombre réel x, associe son carré, noté x². On écrit : f(x) = x². L'opération de mise au carré étant définie pour n'importe quel nombre réel, l'ensemble de définition de la fonction carré est l'ensemble des réels, que l'on note Df = ℝ.

Représentation Graphique et Propriétés

La courbe représentative de la fonction carré est une parabole. Ses principales caractéristiques sont les suivantes :

• Elle passe par l'origine du repère, le point de coordonnées (0,0), qui est aussi son sommet.
• Elle est entièrement située au-dessus de l'axe des abscisses, car le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul (x² ≥ 0 pour tout x réel).
• Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (l'axe vertical). Cette symétrie illustre la propriété de parité de la fonction.

Cette parabole, tournée vers le haut, illustre parfaitement le comportement de la fonction.

Tableau de Variation

Le sens de variation décrit comment les valeurs de f(x) évoluent lorsque x augmente. Pour la fonction carré :

• Sur l'intervalle ]-∞ ; 0], la fonction est strictement décroissante. Cela signifie que si l'on prend deux nombres négatifs a et b tels que a < b, alors leurs carrés seront dans l'ordre inverse : a² > b².
• Sur l'intervalle [0 ; +∞[, la fonction est strictement croissante. Pour deux nombres positifs a et b tels que a < b, leurs carrés restent dans le même ordre : a² < b².

Le point x=0 est l'endroit où la fonction atteint son minimum, qui vaut 0. Ces informations sont synthétisées dans un tableau de variation, un outil visuel essentiel que vous retrouverez dans notre fiche résumé.

Parité de la Fonction Carré

Une fonction f est dite paire si, pour tout x de son ensemble de définition, on a f(-x) = f(x). La fonction carré est un exemple emblématique de fonction paire, car pour tout réel x, on a : (-x)² = x². Graphiquement, cela se traduit par la symétrie de la parabole par rapport à l'axe des ordonnées.

Résolution d'équations du type x² = a

La résolution de l'équation x² = a dépend du signe du nombre a :

• Si a > 0 : L'équation a deux solutions distinctes : √a et -√a. L'ensemble des solutions est S = {-√a ; √a}.
• Si a = 0 : L'équation a une unique solution : x = 0. L'ensemble des solutions est S = {0}.
• Si a < 0 : L'équation n'a aucune solution dans l'ensemble des réels, car un carré ne peut pas être négatif. L'ensemble des solutions est l'ensemble vide, S = ∅.

La Fonction Racine Carrée : 𝒇(𝒙) = √𝒙

Définition et Ensemble de Définition

La fonction racine carrée est la fonction f qui, à tout nombre réel positif ou nul x, associe sa racine carrée, notée √x. Il est crucial de noter que la racine carrée n'est définie que pour les nombres positifs. Par conséquent, son ensemble de définition est Df = [0 ; +∞[.

Représentation Graphique et Sens de Variation

La courbe de la fonction racine carrée est une demi-parabole orientée horizontalement. Elle part de l'origine (0,0) et croît de manière continue, mais de plus en plus lentement, dans le premier quadrant du repère. Contrairement à la fonction carré, la fonction racine carrée est strictement croissante sur tout son ensemble de définition [0 ; +∞[. Cela signifie que si 0 ≤ a < b, alors √a < √b. L'ordre est conservé.

Parité

L'ensemble de définition de la fonction racine carrée, [0 ; +∞[, n'étant pas symétrique par rapport à 0, la question de la parité ne se pose pas. La fonction racine carrée n'est donc ni paire, ni impaire.

La Fonction Cube : 𝒇(𝒙) = 𝒙³

Définition et Ensemble de Définition

La fonction cube est la fonction f qui, à tout nombre réel x, associe son cube, x³. On la note f(x) = x³. Comme pour la fonction carré, cette opération est possible pour tout réel. Son ensemble de définition est donc Df = ℝ.

Représentation Graphique et Sens de Variation

La courbe représentative de la fonction cube a une forme de "S" qui passe par l'origine. Contrairement à la parabole, elle prend des valeurs négatives pour x < 0 et positives pour x > 0. Une propriété fondamentale de la fonction cube est qu'elle est strictement croissante sur tout son ensemble de définition ℝ. Si a < b, alors a³ < b³, que les nombres soient positifs ou négatifs. L'ordre est toujours conservé.

Parité de la Fonction Cube

Une fonction f est dite impaire si, pour tout x de son ensemble de définition, on a f(-x) = -f(x). La fonction cube est une fonction impaire car pour tout réel x : (-x)³ = -x³. Cette propriété se traduit graphiquement par une symétrie par rapport à l'origine du repère. Si un point (x, y) est sur la courbe, alors le point (-x, -y) y est aussi.

La Fonction Inverse : 𝒇(𝒙) = 1/𝒙

Définition et Ensemble de Définition

La fonction inverse est la fonction f qui, à tout nombre réel non nul x, associe son inverse, 1/x. On la note f(x) = 1/x. La division par zéro étant impossible, le nombre 0 est une valeur interdite. L'ensemble de définition est donc l'ensemble des réels privé de 0, que l'on note Df = ℝ* ou encore ]-∞ ; 0[ U ]0 ; +∞[.

Représentation Graphique

La courbe de la fonction inverse est une hyperbole. Elle est composée de deux branches distinctes qui ne se touchent jamais :

• Une branche dans le premier quadrant (pour x > 0) où la fonction est positive.
• Une branche dans le troisième quadrant (pour x < 0) où la fonction est négative.

Les axes du repère jouent un rôle particulier : ce sont des asymptotes. La courbe s'en approche indéfiniment sans jamais les toucher.

Tableau de Variation

Le sens de variation de la fonction inverse est subtil. Elle est :

• Strictement décroissante sur l'intervalle ]-∞ ; 0[.
• Strictement décroissante sur l'intervalle ]0 ; +∞[.

Attention, il est incorrect de dire que la fonction inverse est décroissante sur ℝ*. En effet, si l'on prend a = -2 et b = 2, on a bien a < b, mais f(a) = -1/2 et f(b) = 1/2, donc f(a) < f(b). La relation d'ordre n'est pas inversée globalement à cause de la discontinuité en 0.

Parité de la Fonction Inverse

La fonction inverse est impaire. Son ensemble de définition ℝ* est bien symétrique par rapport à 0. De plus, pour tout x non nul, on a : f(-x) = 1/(-x) = -1/x = -f(x). Graphiquement, son hyperbole est donc symétrique par rapport à l'origine du repère.

Résolution d'inéquations du type 1/x ≥ a

La résolution de cette inéquation se fait en discutant selon le signe de a. C'est un excellent exercice pour combiner analyse graphique et algébrique.

• Si a > 0 : On cherche les x pour lesquels la branche de l'hyperbole est au-dessus de la droite horizontale y=a. Cela correspond aux valeurs de x comprises entre 0 et 1/a. La solution est S = ]0 ; 1/a].
• Si a = 0 : On cherche 1/x ≥ 0. L'inverse d'un nombre est du même signe que le nombre lui-même. On cherche donc x > 0. La solution est S = ]0 ; +∞[.
• Si a < 0 : Toute valeur positive de x donne 1/x > 0, donc 1/x > a. L'intervalle ]0 ; +∞[ est donc solution. Pour x < 0, on résout 1/x ≥ a. En manipulant l'inégalité (attention au changement de sens), on trouve x ≤ 1/a. La solution est donc S = ]-∞ ; 1/a] U ]0 ; +∞[.

Pour une visualisation claire de ces cas, la consultation des graphiques présents dans la fiche de cours est fortement recommandée.

Concepts Clés à Retenir

Au-delà de ces quatre fonctions spécifiques, cette étude permet de consolider des notions générales essentielles :

• Ensemble de définition : Toujours se demander pour quelles valeurs de x la fonction est calculable.
• Parité : Le test de f(-x) permet de détecter des symétries (axiale pour les fonctions paires, centrale pour les impaires) et de simplifier l'étude.
• Sens de variation : Il est crucial pour comparer les images de deux nombres (f(a) et f(b)). Si la fonction est croissante, l'ordre est conservé. Si elle est décroissante, l'ordre est inversé.

Cette exploration détaillée des fonctions de référence de Seconde constitue votre boîte à outils pour l'analyse de fonctions. Pour une synthèse parfaite incluant les tableaux de variation et les représentations graphiques, n'hésitez pas à consulter la fiche de cours complète sur Galilee.ac. Elle vous offrira un support visuel concis pour ancrer durablement ces connaissances.