📖 Fiche résumée

Introduction à la Dérivation Locale : Étudier le Comportement d'une Fonction en un Point

Le chapitre sur la dérivation locale est une pierre angulaire du programme de mathématiques de Première Spécialité. Il introduit un outil puissant, le nombre dérivé, qui permet de dépasser l'analyse globale d'une fonction pour se concentrer sur son comportement en un point précis. Si, jusqu'à présent, vous avez appris à décrire les variations d'une fonction sur de grands intervalles, la dérivation vous offre un microscope mathématique pour examiner l'infiniment petit. Comment une courbe se comporte-t-elle exactement au voisinage d'un point ? Quelle est sa pente instantanée ? Comment peut-on modéliser sa trajectoire locale par une droite ? Ce sont ces questions fondamentales auxquelles la notion de dérivation locale répond. Cette fiche de cours a pour objectif de synthétiser les définitions, formules et interprétations graphiques essentielles pour maîtriser ce concept. Comprendre la dérivation locale est indispensable non seulement pour la suite du programme de mathématiques, notamment l'étude des fonctions, mais aussi pour de nombreuses applications en physique, en économie ou en ingénierie.

Le Taux de Variation : Mesurer une Pente Moyenne

Avant de pouvoir parler de pente instantanée, il est crucial de bien comprendre comment mesurer une pente moyenne. C'est le rôle du taux de variation, aussi appelé taux d'accroissement.

Définition et Interprétation Géométrique

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et soient a et b deux nombres réels distincts de cet intervalle. Le taux de variation de la fonction f entre a et b est le quotient :

Taux de variation = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Ce nombre mesure la variation moyenne des ordonnées (f(b) - f(a)) par unité de variation des abscisses (b - a). Géométriquement, si l'on considère les points A(a, f(a)) et B(b, f(b)) sur la courbe représentative Cf de la fonction, ce taux de variation correspond exactement au coefficient directeur (ou pente) de la droite sécante (AB). Une sécante est une droite qui coupe la courbe en au moins deux points distincts. Ce taux vous donne donc une première approximation de la manière dont la fonction évolue entre ces deux points.

Une Notation plus Pratique pour l'Analyse Locale

Pour étudier ce qui se passe très près d'un point d'abscisse a, il est plus commode de considérer un deuxième point dont l'abscisse est a + h, où h est un nombre réel non nul représentant un petit écart par rapport à a. En remplaçant b par a + h dans la formule précédente, on obtient une nouvelle expression pour le taux de variation :

τ(h) = (f(a + h) - f(a)) / ((a + h) - a)

Ce qui se simplifie en :

τ(h) = (f(a + h) - f(a)) / h

Cette formule est au cœur de la définition du nombre dérivé. Elle représente toujours la pente de la sécante, mais cette fois-ci entre les points d'abscisses a et a + h. L'intérêt de cette notation est de pouvoir faire varier h et de l'imaginer devenir de plus en plus petit, c'est-à-dire de rapprocher le point d'abscisse a + h du point d'abscisse a.

Le Nombre Dérivé : La Pente Instantanée

L'idée géniale de la dérivation est de se demander ce que devient le taux de variation lorsque l'écart h entre les deux points devient infiniment petit, c'est-à-dire lorsqu'il tend vers 0. Graphiquement, cela revient à observer la sécante (AB) se transformer progressivement. À mesure que B se rapproche de A le long de la courbe, la droite (AB) pivote pour se stabiliser dans une position limite : la tangente à la courbe au point A.

La Notion de Limite

Le passage du taux de variation (pente moyenne) au nombre dérivé (pente instantanée) se fait grâce au concept mathématique de limite. On cherche la valeur vers laquelle le taux de variation τ(h) se rapproche lorsque h se rapproche de 0 (sans jamais être égal à 0). Cette valeur limite, si elle existe et est un nombre fini, est appelée le nombre dérivé de f en a.

Définition Formelle et Notations

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel appartenant à I. On dit que la fonction f est dérivable en a si la limite du taux de variation entre a et a + h existe et est finie lorsque h tend vers 0. Cette limite est appelée le nombre dérivé de f en a et est notée f'(a).

On écrit alors la définition fondamentale :

f'(a) = lim (h→0) [ (f(a + h) - f(a)) / h ]

Il est crucial de comprendre que f'(a) est un nombre réel. Il quantifie précisément la tendance de la fonction au point d'abscisse a. Par exemple, en physique, si d(t) représente la distance parcourue par un objet en fonction du temps t, le nombre dérivé d'(t₀) représente la vitesse instantanée de l'objet à l'instant t₀.

L'Interprétation Géométrique : La Tangente à la Courbe

Le concept de nombre dérivé prend tout son sens lorsqu'on l'interprète géométriquement. C'est l'un des aspects les plus importants de ce chapitre, car il permet de visualiser et de donner un sens concret à ce nouvel objet mathématique.

Le Coefficient Directeur de la Tangente

La conclusion principale de l'analyse précédente est la suivante :

Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative Cf au point d'abscisse a.

La tangente en un point A d'une courbe est la droite qui "effleure" la courbe en ce point, en suivant au mieux sa direction locale. Le nombre f'(a) nous renseigne donc sur l'inclinaison de la courbe à cet endroit précis :

• Si f'(a) > 0, la tangente est une droite croissante. Localement, la fonction f est en train d'augmenter.
• Si f'(a) < 0, la tangente est une droite décroissante. Localement, la fonction f est en train de diminuer.
• Si f'(a) = 0, la tangente est horizontale. Ce cas est particulièrement intéressant car il signale souvent la présence d'un sommet ou d'un creux sur la courbe (un extremum local).

Cette interprétation est fondamentale pour l'étude des variations des fonctions que vous aborderez plus en détail par la suite.

Déterminer l'Équation Réduite de la Tangente

Puisque la tangente est une droite, elle admet une équation de la forme y = mx + p. Connaître le nombre dérivé nous donne une information capitale : son coefficient directeur m. Nous savons que m = f'(a).

Pour déterminer entièrement l'équation de cette droite, il nous faut également un point par lequel elle passe. Or, la tangente à Cf au point d'abscisse a passe, par définition, par ce point. Les coordonnées de ce point sont (a, f(a)).

En utilisant la formule générale de l'équation d'une droite passant par un point (x₀, y₀) avec une pente m, qui est y - y₀ = m(x - x₀), on peut substituer nos valeurs :

• Le point (x₀, y₀) est (a, f(a)).
• La pente m est f'(a).

L'équation devient alors : y - f(a) = f'(a)(x - a).

En isolant y, on obtient la formule de l'équation réduite de la tangente Tₐ à la courbe Cf au point d'abscisse a :

y = f'(a)(x - a) + f(a)

Cette équation est l'aboutissement pratique de la dérivation locale. Elle permet, à partir de la fonction f et d'un point a, de trouver la meilleure approximation affine de la fonction au voisinage de ce point. Pour la maîtriser, il faut être capable de calculer trois éléments : la valeur de a, l'image f(a), et le nombre dérivé f'(a).

En Résumé : Les Formules Clés

Pour aborder sereinement les exercices sur la dérivation locale, il est essentiel de mémoriser et de comprendre parfaitement les éléments suivants, que vous retrouverez de manière synthétique dans notre fiche de cours :

• Taux de variation entre a et a+h : τ(h) = [f(a + h) - f(a)] / h. Il représente la pente de la sécante.
• Nombre dérivé en a : f'(a) = lim (h→0) τ(h). Il représente la pente de la tangente.
• Équation de la tangente en a : y = f'(a)(x - a) + f(a).

La maîtrise de ce chapitre est une étape décisive dans votre parcours mathématique au lycée. Elle ouvre la voie à une compréhension beaucoup plus fine et dynamique des fonctions. Pour une vision claire et schématisée de ces concepts, n'hésitez pas à consulter la fiche de cours complète sur Galilee.ac, qui illustre graphiquement le passage de la sécante à la tangente et rappelle visuellement ces formules indispensables à votre réussite.