📖 Fiche résumée

Introduction aux suites numériques : arithmétiques et géométriques

L'étude des suites numériques est un pilier fondamental du programme de mathématiques de la classe de Première, spécialité mathématiques. Ces objets mathématiques, qui sont des listes ordonnées de nombres, permettent de modéliser une multitude de phénomènes d'évolution, que ce soit en finance, en biologie, en physique ou en informatique. Parmi elles, deux familles se distinguent par leur simplicité et leur omniprésence : les suites arithmétiques et les suites géométriques. Cette fiche de cours a pour objectif de synthétiser l'ensemble des définitions, formules et propriétés essentielles relatives à ces deux types de suites. Comprendre leur fonctionnement, savoir les identifier, déterminer leur sens de variation et calculer la somme de leurs termes sont des compétences cruciales pour réussir son année et se préparer sereinement aux épreuves du baccalauréat. Ce texte vous propose un résumé approfondi pour vous guider dans vos révisions, mais ne remplace pas la pratique active via des exercices que vous trouverez dans notre fiche complète sur Galilee.ac.

Les suites arithmétiques : une progression linéaire

Une suite arithmétique est caractérisée par une progression constante, où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même quantité. Cette constance en fait un outil de modélisation privilégié pour les phénomènes à croissance ou décroissance linéaire.

Définition et forme récurrente d'une suite arithmétique

Une suite (uₙ) est dite arithmétique s'il existe un nombre réel r, appelé la raison de la suite, tel que pour tout entier naturel n, on ait :

uₙ₊₁ = uₙ + r

Cette relation est appelée la forme récurrente ou la définition par récurrence de la suite. Elle exprime un terme en fonction de son prédécesseur immédiat. Pour définir entièrement la suite, il est indispensable de connaître sa raison r ainsi que son premier terme (généralement u₀ ou u₁).

• Si r > 0, chaque terme est plus grand que le précédent. La suite modélise une croissance constante.
• Si r < 0, chaque terme est plus petit que le précédent. La suite modélise une décroissance constante.
• Si r = 0, tous les termes sont égaux. La suite est constante.

Comment démontrer qu'une suite est arithmétique ?

Pour prouver qu'une suite (uₙ) est arithmétique, la méthode la plus rigoureuse consiste à calculer la différence entre deux termes consécutifs, uₙ₊₁ - uₙ, pour un entier n quelconque. Si le résultat de ce calcul est un nombre constant, indépendant de n, alors la suite est arithmétique et cette constante est sa raison r.

Méthodologie :

1. Exprimer uₙ₊₁ en fonction de n.
2. Calculer la différence uₙ₊₁ - uₙ.
3. Simplifier l'expression obtenue.
4. Si le résultat est une constante r, conclure que la suite est arithmétique de raison r. Sinon, elle n'est pas arithmétique.

Forme explicite d'une suite arithmétique

La forme récurrente est utile pour calculer les termes de proche en proche, mais elle devient rapidement fastidieuse si l'on souhaite calculer un terme de rang élevé, comme u₁₀₀. La forme explicite permet de calculer n'importe quel terme uₙ directement en fonction de son rang n.

La formule générale reliant deux termes quelconques uₙ et uₚ est :

uₙ = uₚ + (n - p)r

Un cas particulier très fréquent est celui où le premier terme connu est u₀ (de rang p=0). La formule devient alors :

uₙ = u₀ + nr

Cette expression rappelle l'équation d'une droite (y = ax + b), ce qui confirme la nature linéaire de la progression d'une suite arithmétique. La maîtrise de ces deux formules est essentielle pour résoudre la majorité des problèmes sur le sujet.

Sens de variation d'une suite arithmétique

Le sens de variation d'une suite arithmétique est entièrement déterminé par le signe de sa raison r. C'est l'un des aspects les plus simples de leur étude.

• Si r > 0, la suite (uₙ) est strictement croissante.
• Si r < 0, la suite (uₙ) est strictement décroissante.
• Si r = 0, la suite (uₙ) est constante.

Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique

Calculer la somme des termes d'une suite est une compétence clé. La formule générale pour la somme S de termes consécutifs d'une suite arithmétique est :

S = (Nombre de termes) × (Premier terme + Dernier terme) / 2

Pour appliquer cette formule, il faut être vigilant sur deux points :

1. Le nombre de termes : Pour une somme allant du terme uₚ au terme uₙ, le nombre de termes est n - p + 1. Par exemple, de u₀ à uₙ, il y a n - 0 + 1 = n + 1 termes.
2. Le premier et le dernier terme : Il faut bien identifier les termes qui commencent et terminent la somme.

Une formule de base à connaître, dont la précédente est une généralisation, est la somme des n premiers entiers non nuls :

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) / 2

Les suites géométriques : une progression exponentielle

À la différence des suites arithmétiques, les suites géométriques progressent par multiplications successives. Elles modélisent des phénomènes à croissance ou décroissance exponentielle, comme les placements à intérêts composés, la croissance de populations ou la décroissance radioactive.

Définition et forme récurrente d'une suite géométrique

Une suite (uₙ) est dite géométrique s'il existe un nombre réel q, appelé la raison de la suite, tel que pour tout entier naturel n, on ait :

uₙ₊₁ = uₙ × q

Cette relation est la forme récurrente de la suite. Pour qu'une suite géométrique soit bien définie, son premier terme doit être non nul et sa raison différente de 0 et de 1 (cas triviaux).

Comment démontrer qu'une suite est géométrique ?

Pour prouver qu'une suite (uₙ) (dont les termes sont non nuls) est géométrique, on calcule le rapport entre deux termes consécutifs, uₙ₊₁ / uₙ, pour un entier n quelconque. Si ce rapport est un nombre constant, indépendant de n, alors la suite est géométrique et cette constante est sa raison q.

Méthodologie :

1. S'assurer que les termes de la suite ne sont pas nuls.
2. Exprimer uₙ₊₁ en fonction de n.
3. Calculer le rapport uₙ₊₁ / uₙ.
4. Simplifier l'expression.
5. Si le résultat est une constante q, conclure que la suite est géométrique de raison q.

Forme explicite d'une suite géométrique

Comme pour les suites arithmétiques, la forme explicite permet un accès direct à n'importe quel terme uₙ.

La formule générale reliant deux termes quelconques uₙ et uₚ est :

uₙ = uₚ × qⁿ⁻ᵖ

Dans le cas particulier où le premier terme est u₀, la formule s'écrit :

uₙ = u₀ × qⁿ

Cette expression est à la base des fonctions exponentielles, ce qui souligne le lien profond entre ces deux chapitres du programme de Première.

Sens de variation d'une suite géométrique

L'étude du sens de variation d'une suite géométrique est plus complexe que pour une suite arithmétique, car elle dépend non seulement du signe de la raison q, mais aussi de sa position par rapport à 1, ainsi que du signe du premier terme u₀. On suppose u₀ ≠ 0.

• Si q > 1 :
  • Si u₀ > 0, la suite est strictement croissante.
  • Si u₀ < 0, la suite est strictement décroissante.
• Si 0 < q < 1 :
  • Si u₀ > 0, la suite est strictement décroissante (et converge vers 0).
  • Si u₀ < 0, la suite est strictement croissante (et converge vers 0).
• Si q < 0 : La suite n'est pas monotone, car ses termes alternent de signe.
• Si q = 1 ou q = 0 : La suite est constante (à partir du rang 1 pour q=0).

Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique

Le calcul de la somme des termes d'une suite géométrique est également une compétence fondamentale, particulièrement utile en mathématiques financières. La formule clé est la somme des premières puissances de la raison q (avec q ≠ 1) :

1 + q + q² + ... + qⁿ = (1 - qⁿ⁺¹) / (1 - q)

À partir de cette formule, on peut déduire la formule générale pour la somme S de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q ≠ 1 :

S = Premier terme × (1 - q^(Nombre de termes)) / (1 - q)

Ici encore, la plus grande attention doit être portée au calcul du nombre de termes (n - p + 1 pour une somme de uₚ à uₙ) et à l'identification correcte du premier terme de la somme.

Conclusion : un chapitre central à maîtriser

Les suites arithmétiques et géométriques sont bien plus que de simples exercices de calcul. Elles constituent les briques de base pour la modélisation de nombreuses situations concrètes et introduisent des concepts essentiels qui seront approfondis dans les classes supérieures, notamment la notion de limite de suite. Savoir les différencier, passer de la forme récurrente à la forme explicite, analyser leur comportement et calculer leurs sommes sont des automatismes à acquérir. Ce résumé couvre les formules et méthodes essentielles, mais seule une pratique régulière avec des exercices variés vous permettra de maîtriser pleinement ce chapitre. Pour approfondir chaque point avec des exemples détaillés, des démonstrations et des exercices d'application corrigés, nous vous invitons à consulter la fiche de cours complète disponible sur Galilee.ac.